Bài 12. Tích phân – Toán 12 tập 2 Kết nối tri thức

Yêu cầu cần đạt

Nhận biết định nghĩa và các tính chất của tích phân.
Tính tích phân trong những trường hợp đơn giản.
Vận dụng tích phân để giải một số bài toán liên quan đến
thực tiễn.

Thuật ngữ: Tích phân · Cận tích phân · Hàm số dưới dấu tích phân

THUẬT NGỮ

Tích phân
Cận tích phân
Hàm số dưới dấu tích phân

KIẾN THỨC, KĨ NĂNG

Nhận biết định nghĩa và các tính chất của tích phân.
Tính tích phân trong những trường hợp đơn giản.
Vận dụng tích phân để giải một số bài toán liên quan đến

thực tiễn.

Một ô tô đang chạy với vận tốc 20 m/s thì người lái đạp
phanh. Sau khi đạp phanh, ô tô chuyển động chậm dần đều
với vận tốc $v (t) = - 40 t + 20$ (m/s), trong đó $t$ là thời gian tính
bằng giây kể từ lúc đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi
dừng hẳn, ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét?

A red car on a road, with a dashed line indicating its path.

1. Khái niệm tích phân

a) Diện tích hình thang cong

Hình thang cong

Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $y = f (x)$ , trục hoành và hai đường thẳng $x = a$ , $x = b$ ( $a < b$ ),
trong đó $f (x)$ là hàm liên tục không âm trên đoạn $[a; b]$ , gọi là một hình thang cong.

Ví dụ 1.

Dạng bài: Nhận biết hình thang cong

Những hình phẳng được tô màu dưới đây có phải là hình thang cong không?

Hình 4.4. Two graphs. Graph (a) shows the area under

y = x^{2}

from

x = 1

x = 2

. Graph (b) shows the area under

y = x^{3}

from

x = 0

x = 1

. Both areas are shaded.

Giải
Hình 4.4a là hình thang cong giới hạn bởi đồ thị $y = x^{2}$ , trục hoành và hai đường thẳng
$x = 1$ , $x = 2$ .
Hình 4.4b là hình thang cong giới hạn bởi đồ thị $y = x^{3}$ , trục hoành và hai đường thẳng
$x = 0$ , $x = 1$ .

HĐ1.

Diện tích của hình thang
Kí hiệu $T$ là hình thang vuông giới hạn bởi đường thẳng
$y = x + 1$ , trục hoành và hai đường thẳng $x = 1$ , $x = t$ ( $1 \leq t \leq 4$ )
(H.4.3).
a) Tính diện tích $S$ của $T$ khi $t = 4$ .
b) Tính diện tích $S (t)$ của $T$ khi $t \in [1; 4]$ .
c) Chứng minh rằng $S (t)$ là một nguyên hàm của hàm số
$f (t) = t + 1$ , $t \in [1; 4]$ và diện tích $S = S (4) - S (1)$ .

Hình 4.3. A graph showing the line

y = x + 1

. A shaded trapezoidal area is shown from

x = 1

x = t

, labeled S(t).

HĐ2.

Diện tích của hình thang cong
Xét hình thang cong giới hạn bởi đồ thị $y = x^{2}$ , trục hoành và hai đường thẳng $x = 1$ , $x = 2$ .
Ta muốn tính diện tích $S$ của hình thang cong này.
a) Với mỗi $x \in [1; 2]$ , gọi $S (x)$ là diện tích phần hình thang cong
đã cho nằm giữa hai đường thẳng vuông góc với trục $O x$ tại
điểm có hoành độ bằng 1 và $x$ (H.4.5).
Cho $h > 0$ sao cho $x + h < 2$ . So sánh hiệu $S (x + h) – S (x)$ với
diện tích hai hình chữ nhật $M N P Q$ và $M N E F$ (H.4.6). Từ đó
suy ra
$0 \leq \frac{S (x + h) - S (x)}{h} - x^{2} \leq 2 x h + h^{2}$ .
b) Cho $h < 0$ sao cho $x + h > 1$ . Tương tự phần a, đánh giá hiệu
$S (x) – S (x + h)$ và từ đó suy ra
$2 x h + h^{2} \leq \frac{S (x + h) - S (x)}{h} - x^{2} \leq 0$ .
c) Từ kết quả phần a và phần b, suy ra với mọi $h \neq 0$ , ta có
$\frac{S (x + h) - S (x)}{h} - x^{2} \leq 2 x ∣ h ∣ + h^{2}$ .
Từ đó chứng minh $S^{'} (x) = x^{2}$ , $x \in (1; 2)$ .
Người ta chứng minh được $S^{'} (1) = 1$ , $S^{'} (2) = 4$ , tức là $S (x)$
là một nguyên hàm của $x^{2}$ trên $[1; 2]$ .
d) Từ kết quả của phần c, ta có $S (x) = \frac{x^{3}}{3} + C$ . Sử dụng điều
này với lưu ý $S (1) = 0$ và diện tích cần tính $S = S (2)$ , hãy
tính $S$ .
Gọi $F (x)$ là một nguyên hàm tuỳ ý của $f (x) = x^{2}$ trên $[1; 2]$ . Hãy so sánh $S$ và $F (2) - F (1)$ .
Tổng quát, ta có:

Hình 4.5. A graph showing the curve

y = x^{2}

. The area S(x) from

x = 1

x

is shaded.

Hình 4.6. A graph showing the curve

y = x^{2}

. A shaded area from

x = 1

x + h

is shown, with rectangles MNPQ and MNEF indicated.

Định lí 1

Nếu hàm số $f (x)$ liên tục và không âm trên đoạn
$[a; b]$ , thì diện tích $S$ của hình thang cong giới hạn
bởi đồ thị $y = f (x)$ , trục hoành và hai đường thẳng
$x = a$ , $x = b$ là $S = F (b) - F (a)$ , trong đó $F (x)$ là một
nguyên hàm của hàm số $f (x)$ trên đoạn $[a; b]$ .

Hình 4.7. A graph showing a curve

y = f (x)

from

x = a

x = b

. The area under the curve is shaded, forming a curvilinear trapezoid.

Ví dụ 2.

Dạng bài: Tính diện tích hình thang cong

Tính diện tích $S$ của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị
hàm số $y = f (x) = x^{3}$ , trục hoành và hai đường thẳng $x = 1$ , $x = 2$ .

Lời giải

Giải (H.4.8)
Một nguyên hàm của hàm số $f (x) = x^{3}$ là $F (x) = \frac{x^{4}}{4}$ .
Do đó, diện tích của hình thang cong cần tính là
$S = F (2) - F (1) = \frac{2^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4} = \frac{15}{4}$ .

Hình 4.8. A graph showing the curve

y = x^{3}

. The area S from

x = 1

x = 2

is shaded.

b) Định nghĩa tích phân

HĐ3.

Nhận biết khái niệm tích phân
Giả sử $f (x)$ là hàm số liên tục trên đoạn $[a; b]$ , $F (x)$ và
$G (x)$ là hai nguyên hàm tuỳ ý của $f (x)$ trên đoạn $[a; b]$ .
Chứng minh rằng $F (b) - F (a) = G (b) - G (a)$ .
Từ đó, ta có định nghĩa sau:

Chú ý G(x) = F(x) + C, C là hằng số.

G(x) = F(x) + C, C là hằng số.

Cho $f (x)$ là hàm số liên tục trên đoạn $[a; b]$ . Nếu $F (x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f (x)$
trên đoạn $[a; b]$ thì hiệu số $F (b) - F (a)$ được gọi là tích phân từ $a$ đến $b$ của hàm số $f (x)$ ,
kí hiệu là $\int_{a}^{b} f (x) d x$ .

Chú ý

a) Hiệu $F (b) – F (a)$ thường được kí hiệu là $F (x) ∣_{a}^{b}$ .
Như vậy
$\int_{a}^{b} f (x) d x = F (x) ∣_{a}^{b}$ .
b) Ta gọi $\int$ là dấu tích phân, $a$ là cận dưới, $b$ là cận trên,
$\int_{a}^{b} f (x) d x$ là biểu thức dưới dấu tích phân và $f (x)$ là hàm số
dưới dấu tích phân.
c) Trong trường hợp $a = b$ hoặc $a > b$ , ta quy ước:
$\int_{a}^{a} f (x) d x = 0$ ; $\int_{b}^{a} f (x) d x = - \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

Tích phân không phụ thuộc vào
cách kí hiệu biến:
$\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{a}^{b} f (t) d t = \int_{a}^{b} f (u) d u$ .

A cartoon robot character.

Ví dụ 3.

Dạng bài: Tính tích phân

Tính:
a) $\int_{- 1}^{3} x^{2} d x$ ;
b) $\int_{0}^{\frac{π}{6}} \cos t d t$ ;
c) $\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{d u}{\cos^{2} u}$ ;
d) $\int_{0}^{2} 2^{x} d x$ .

Lời giải

Giải
a) $\int_{- 1}^{3} x^{2} d x = \frac{x^{3}}{3} ∣_{- 1}^{3} = \frac{3^{3}}{3} - \frac{(- 1)^{3}}{3} = 9 - (- \frac{1}{3}) = 9 + \frac{1}{3} = \frac{28}{3}$ .
b) $\int_{0}^{\frac{π}{6}} \cos t d t = \sin t ∣_{0}^{\frac{π}{6}} = \sin \frac{π}{6} - \sin 0 = \frac{1}{2} - 0 = \frac{1}{2}$ .
c) $\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{d u}{\cos^{2} u} = \tan u ∣_{0}^{\frac{π}{4}} = \tan \frac{π}{4} - \tan 0 = 1 - 0 = 1$ .
d) $\int_{0}^{2} 2^{x} d x = \frac{2^{x}}{\ln 2} ∣_{0}^{2} = \frac{2^{2}}{\ln 2} - \frac{2^{0}}{\ln 2} = \frac{4}{\ln 2} - \frac{1}{\ln 2} = \frac{3}{\ln 2}$ .

Luyện tập 1.

Dạng bài: Tính tích phân

Tính:
a) $\int_{0}^{e} \frac{1}{x} d x$ ;
b) $\int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x$ ;
c) $\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin x d x$ ;
d) $\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \frac{d x}{\sin^{2} x}$ .

Từ Định lí 1 và định nghĩa tích phân, ta có
Ý nghĩa hình học của tích phân:

Nếu hàm số $f (x)$ liên tục và không âm trên đoạn $[a; b]$ , thì
$\int_{a}^{b} f (x) d x$ là diện tích $S$ của hình thang cong giới
hạn bởi đồ thị $y = f (x)$ , trục hoành và hai đường thẳng $x = a$ ,
$x = b$ (H.4.9). Vậy

Hình 4.9. A graph showing a curve

y = f (x)

from

x = a

x = b

. The area S under the curve is shaded.

$S = \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

Ví dụ 4.

Dạng bài: Tính tích phân bằng hình học

Sử dụng ý nghĩa hình học của tích phân, tính:
a) $\int_{0}^{1} (x + 1) d x$ ;
b) $\int_{- 1}^{1} \sqrt{1 - x^{2}} d x$ .

Lời giải

Giải
a) Tích phân cần tính là diện tích của hình thang vuông
$O A B C$ , có đáy nhỏ $O C = 1$ , đáy lớn $A B = 2$ và đường cao
$O A = 1$ (H.4.10). Do đó:
$\int_{0}^{1} (x + 1) d x = S_{O A B C} = \frac{1}{2} (O C + A B) \cdot O A = \frac{1}{2} (1 + 2) \cdot 1 = \frac{3}{2}$ .

Hình 4.10. A graph showing the line

y = x + 1

. A trapezoidal area OABC is shaded, with vertices O(0,0), A(1,0), B(1,2), C(0,1).

b) Ta có $y = \sqrt{1 - x^{2}}$ là phương trình nửa phía trên trục
hoành của đường tròn tâm tại gốc toạ độ $O$ và bán
kính 1. Do đó, tích phân cần tính là diện tích nửa phía
trên trục hoành của hình tròn tương ứng (H.4.11).
Vậy $\int_{- 1}^{1} \sqrt{1 - x^{2}} d x = \frac{π}{2}$ .

Hình 4.11. A graph showing the upper semi-circle of a unit circle centered at the origin,

y = \sqrt{1 - x^{2}}

. The area under the curve from

x = - 1

x = 1

is shaded.

Luyện tập 2.

Dạng bài: Tính tích phân bằng hình học

Sử dụng ý nghĩa hình học của tích phân, tính:
a) $\int_{2}^{3} (2 x + 1) d x$ ;
b) $\int_{- 2}^{2} \sqrt{4 - x^{2}} d x$ .

Lưu ý $v (t) = s^{'} (t)$ .

Vận dụng 1.

Dạng bài: Giải bài toán thực tế

Giải quyết bài toán ở tình huống mở đầu.

A cartoon robot character.

2. Tính chất của tích phân

HĐ4.

Nhận biết tính chất của tích phân
Tính và so sánh:
a) $\int_{0}^{1} 2 x d x$ và $2 \int_{0}^{1} x d x$ ;
b) $\int_{0}^{3} (x^{2} + x) d x$ và $\int_{0}^{3} x^{2} d x + \int_{0}^{3} x d x$ ;
c) $\int_{0}^{3} x d x$ và $\int_{0}^{1} x d x + \int_{1}^{3} x d x$ .

Tính chất của tích phân:

Cho $f (x)$ , $g (x)$ là các hàm số liên tục trên đoạn $[a; b]$ . Khi đó, ta có

1) $\int_{a}^{b} k f (x) d x = k \int_{a}^{b} f (x) d x$ ( $k$ là hằng số);
2) $\int_{a}^{b} [f (x) + g (x)] d x = \int_{a}^{b} f (x) d x + \int_{a}^{b} g (x) d x$ ;
3) $\int_{a}^{b} [f (x) - g (x)] d x = \int_{a}^{b} f (x) d x - \int_{a}^{b} g (x) d x$ ;
4) $\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{a}^{c} f (x) d x + \int_{c}^{b} f (x) d x$ ( $a < c < b$ ).

Ví dụ 3. Tính:

a)
$\int_{- 1}^{3} x^{2} d x;$
b)
$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \cos t d t;$
c)
$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{d u}{\cos^{2} u};$
d)
$\int_{1}^{2} 2^{x} d x .$

Giải

a)
$\int_{- 1}^{3} x^{2} d x = \frac{x^{3}}{3} ∣_{- 1}^{3} = \frac{1}{3} [3^{3} - (- 1)^{3}] = \frac{28}{3} .$
b) $\int_{0}^{\frac{π}{6}} \cos t d t = \sin t ∣_{0}^{\frac{π}{6}} = \sin \frac{π}{6} - \sin 0 = \frac{1}{2} .$
c)
$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{d u}{\cos^{2} u} = \tan u ∣_{0}^{\frac{π}{4}} = \tan \frac{π}{4} - \tan 0 = 1 - 0 = 1.$ \d) $\int_{1}^{2} 2^{x} d x = \frac{2^{x}}{i n 2} ∣_{1}^{2} = \frac{2^{2}}{\ln 2} - \frac{2^{4}}{\ln 2} = \frac{2}{\ln 2} .$

Luyện tập 1. Tính:

Dạng bài: Tính tích phân

Luyện tập 1. Tính:
a)
$\int_{0}^{1} Θ^{r} d x;$
b)
$\int_{1}^{0} \frac{1}{x} d x;$
c)
$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin x d x_{i}$
d)
$\int_{\frac{π}{3}}^{\frac{π}{2}} \frac{d x}{\sin^{2} x},$

Từ Định lí 1 và định nghĩa tích phân, ta có

Ý nghĩa hình học của tích phân:

Nếu hàm số $f (x)$ liên tục và không âm trên đoạn [a; b], thì
tích phân $\int_{a}^{b} f (x) d x$ là diện tích S của hình thang cong giới
hạn bởi đồ thị $y = f (x)$ , trục hoành và hai đường thẳng $x = a$
$x = b$ (H.4.9). Vậy

$S = \int_{a}^{b} f (x) d x .$

Ví dụ 4. Sử dụng ý nghĩa hình học của tích phân, tính:

a)
$\int_{0}^{1} (x + 1) d x_{i}$
b) $\int_{- 1}^{1} \sqrt{1 - x^{2}} d x .$

a) Tích phân cần tính là diện tích của hình thang vuông
OABC, có đáy nhỏ $O C = 1$ đáy lớn $A B = 2$ và đường cao
$O A = 1$ (H.4.10). Do đó:

$\int_{0}^{1} (x + 1) d x = S_{O A B C} = \frac{1}{2} (O C + A B) \cdot O A = \frac{1}{2} (1 + 2) \cdot 1 = \frac{3}{2} .$

b) Ta có $y = \sqrt{1 - x^{2}}$ là phương trình nửa phía trên trục
hoành của đường tròn tâm tại gốc toạ độ O và bán
kính 1. Do đó, tích phân cần tính là diện tích nửa phía
trên trục hoành của hình tròn tương ứng (H.4.11).

Vậy
$\int_{- 1}^{1} \sqrt{1 - x^{2}} d x = \frac{π}{2} .$

Luyện tập 2. Sử dụng ý nghĩa hình học của tích phân, tỉnh:

Dạng bài: Tính tích phân

Luyện tập 2. Sử dụng ý nghĩa hình học của tích phân, tỉnh:
a) $\int_{i}^{3} (2 x + 1) d x_{i}$
b)
$\int_{- 2}^{2} \sqrt{4 - x^{2}} d x .$

Lưu ý $v (t) = s^{'} (t)$ .

Vận dụng 1. Giải quyết bài toán ở tình huống mở đầu.

2. Tính chất của tích phân

HĐ4. Nhận biết tính chất của tích phân

HĐ4. Nhận biết tính chất của tích phân
Tính và so sánh:
a)
)

$\int_{0}^{1} 2 x d x v \dot{a} : 2 \int_{0}^{1} x d x;$
b) $\int_{0}^{1} (x^{2} + x) d x v \dot{a} \int_{0}^{1} x^{2} d x + \int_{0}^{1} x d x;$
c)
$\int_{0}^{3} x d x \cdot v \overline{a} \int_{0}^{1} x d x + \int_{i}^{3} x d x .$

Tính chất của tích phân:

1) $\int_{a}^{b} k f (x) d x = k \int_{a}^{b} f (x) d x$ (k là hằng số);

2) $\int_{a}^{b} [f (x) + g (x)] d x = \int_{a}^{b} f (x) d x + \int_{a}^{b} g (x) d x;$

3) $\int_{a}^{b} [f (x) - g (x)] d x = \int_{a}^{b} f (x) d x - \int_{a}^{b} g (x) d x;$

4) $\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{a}^{c} f (x) d x + \int_{c}^{b} f (x) d x (a < c < b) .$

Ví dụ 5. Tính:

$\int_{1}^{4} (x^{3} + 3 \sqrt{x}) d x;$ b) $\int_{0}^{\frac{π}{2}} (e^{x} - 2 \cos x) d x;$ C) $\int_{1}^{4} (2^{x} - \frac{3}{x^{2}}) d x .$

Giải

a) $\int_{1}^{4} (x^{3} + 3 \sqrt{x}) d x = \int_{1}^{4} x^{3} d x + 3 \int_{1}^{4} \sqrt{x} d x = \frac{x^{4}}{4} ∣_{1}^{4} + 3 \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} ∣_{1}^{4}$
$= \frac{1}{4} (4^{4} - 1) + 2 (4^{\frac{3}{2}} - 1) = \frac{255}{4} + 14 = \frac{311}{4} .$
b) $\int_{0}^{\frac{π}{2}} (e^{x} - 2 \cos x) d x = \int_{0}^{\frac{π}{2}} e^{x} d x - 2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos x d x$
$= e^{x} ∣_{0}^{\frac{π}{2}} - 2 \sin x ∣_{0}^{\frac{π}{2}} = (e^{\frac{π}{2}} - 1) - 2 (1 - 0) = e^{\frac{π}{2}} - 3.$ \c) $\int_{1}^{4} (2^{x} - \frac{3}{x^{2}}) d x = \int_{1}^{4} 2^{x} d x - 3 \int_{1}^{4} x^{- 2} d x = \frac{2^{x}}{\ln 2} ∣_{1}^{4} + 3 \cdot \frac{1}{x} ∣_{1}^{4}$
$= \frac{1}{\ln 2} (2^{4} - 2^{1}) + 3 (\frac{1}{4} - 1) = \frac{15}{\ln 2} - \frac{9}{4} .$

Luyện tập 3. Tính các tích phân sau:

Dạng bài: Tính tích phân

Luyện tập 3. Tính các tích phân sau:
a) $\int_{0}^{2 π} (2 x + \cos x) d x;$
b) $\int_{1}^{2} (3^{x} - \frac{3}{x}) d x_{i}$
c) $\int_{\frac{π}{3}}^{\frac{π}{2}} (\frac{1}{\cos^{2} x} - \frac{1}{\sin^{2} x}) d x .$

Ví dụ 6. Tính $\int_{0}^{3}|x-2|dx.$

Ta có:

$\int_{0}^{3} ∣ x - 2 ∣ d x = \int_{0}^{2} ∣ x - 2 ∣ d x + \int_{2}^{3} ∣ x - 2 ∣ d x = \int_{0}^{2} (2 - x) d x + \int_{2}^{3} (x - 2) d x$
$= (2 x - \frac{x^{2}}{2}) ∣_{0}^{2} + (\frac{x^{2}}{2} - 2 x) ∣_{2}^{3} = [(4 - 2) - 0] + [(\frac{9}{2} - 6) - (2 - 4)] = \frac{5}{2} .$

Luyện tập 4. Tính

Dạng bài: Tính tích phân

Luyện tập 4. Tính
$\int_{0}^{3} ∣ 2 x - 3 ∣ d x .$

Vận dụng 2. Giá trị trung bình của hàm số liên tục $f(x)$ trên đoạn [a; b] được định nghĩa là

Vận dụng 2. Giá trị trung bình của hàm số liên tục $f (x)$ trên đoạn [a; b] được định nghĩa là
$\frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x .$

Giả sử nhiệt độ (tính bằng °C) tại thời điểm t giờ trong khoảng thời gian từ 6 giờ sáng đến
12 giờ trưa ở một địa phương vào một ngày nào đó được mô hình hoá bởi hàm số
$T (t) = 20 + 1, 5 (t - 6)$ $6 \leq t \leq 12$ .

Tìm nhiệt độ trung bình vào ngày đó trong khoảng thời gian từ 6 giờ sáng đến 12 giờ trưa.

Bài tập

4.8. Sử dụng ý nghĩa hình học của tích phân, tính:

Dạng bài: Tính tích phân bằng ý nghĩa hình học

4.8. Sử dụng ý nghĩa hình học của tích phân, tính:
a) $\int_{1}^{2} (2 x + 1) d x_{i}$
b) $\int_{- 3}^{3} \sqrt{9 - x^{2}} d x .$

4.9. Cho $\int_{0}^{3}f(x)dx=5$ và $\int_{0}^{3}g(x)dx=2.$ Tinh:

Dạng bài: Áp dụng tính chất của tích phân

4.9. Cho $\int_{0}^{3} f (x) d x = 5$ và $\int_{0}^{3} g (x) d x = 2.$ Tinh:
a) $\int_{0}^{3} [f (x) + g (x)] d x;$
b)
$\int_{0}^{3} [f (x) - g (x)] d x;$
c) $\int_{0}^{3} 3 f (x) d x_{s}$
d) $\int_{0}^{3} [2 f (x) - 3 g (x)] d x .$

4.10. Tính:

Dạng bài: Tính tích phân xác định

4.10. Tính:
a)
$\int_{0}^{3} (3 x - 1)^{2};$ dx; b) $\int_{0}^{\frac{π}{2}} (1 + \sin x) d x_{i}$
c $) \int_{0}^{1} (e^{2 x} + 3 x^{2}) d x_{i}$
d) $\int_{- 1}^{2} ∣ 2 x + 1 ∣ d x .$

4.11. Một vật chuyển động dọc theo một đường thẳng sao cho vận tốc của nó tại thời điểm (giây) là $v(t)=t^{2}-t-6$ (m/s).

Dạng bài: Tính độ dịch chuyển và quãng đường

4.11. Một vật chuyển động dọc theo một đường thẳng sao cho vận tốc của nó tại thời điểm
(giây) là $v (t) = t^{2} - t - 6$ (m/s).
a) Tìm độ dịch chuyển của vật trong khoảng thời gian $1 \leq t \leq 4,$ tức là tỉnh
$\int_{1}^{4} v (t) d t$ .
b) Tìm tổng quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian này, tức là tính
$\int_{1}^{4} ∣ v (t) ∣ d t$ .

4.12. Giả sử lợi nhuận biên (tính bằng triệu đồng) của một sản phẩm được mô hình hoá bằng công thức $P^{\prime}(x)=-0,0005x+12,2$.

Dạng bài: Tính sự thay đổi lợi nhuận từ hàm lợi nhuận biên

4.12. Giả sử lợi nhuận biên (tính bằng triệu đồng) của một sản phẩm được mô hình hoá
bằng công thức
$P^{'} (x) = - 0, 0005 x + 12, 2$ .
Ở đây $P (x)$ là lợi nhuận (tính bằng triệu đồng) khi bán được x đơn vị sản phẩm.
a) Tìm sự thay đổi của lợi nhuận khi doanh số tăng từ 100 lên 101 đơn vị sản phẩm.
b) Tìm sự thay đổi của lợi nhuận khi doanh số tăng từ 100 lên 110 đơn vị sản phẩm.

4.13. Giả sử vận tốc v của dòng máu ở khoảng cách từ tâm của động mạch bán kính R không đổi, có thể được mô hình hoá bởi công thức $v=k(R^{2}-r^{2})$,

Dạng bài: Tính vận tốc trung bình

4.13. Giả sử vận tốc v của dòng máu ở khoảng cách từ tâm của động mạch bán kính R
không đổi, có thể được mô hình hoá bởi công thức
$v = k (R^{2} - r^{2})$ ,
trong đó k là một hằng số. Tìm vận tốc trung bình (đối với r) của động mạch trong
khoảng $0 \leq r \leq R .$ So sánh vận tốc trung bình với vận tốc lớn nhất.

Xem bản PDF nguyên trang sách: Toán 12 tập 2 – Kết nối tri thức với cuộc sống (trang 14–18).