Bài 13. Ứng dụng hình học của tích phân

Thuật ngữ

. Hình phẳng

Thể tích

Khối tròn xoay

Kiến thức, kĩ năng

. Sử dụng tích phân để tính diện tích của một số hình phẳng.
Sử dụng tích phân để tính thể tích của một số vật thể.

Trong phần Hình học ở Trung học cơ sở và
lớp 11, chúng ta đã được học công thức tính
thể tích của nhiều vật thể trong không gian
như khối lăng trụ, khối chóp, khối chóp cụt
đều, khối trụ, khối nón, khối cầu. Tuy nhiên,
ta thường phải thừa nhận các công thức này.

Bài học này sẽ cung cấp một phương pháp
tổng quát giúp ta thiết lập một cách dễ dàng
tất cả các công thức tính diện tích và thể tích
đã được học trong Hình học, cũng như tính
được diện tích của những hình phẳng và thể
tích của những vật thể phức tạp hơn gặp trong
thực tiễn.

1. Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng

a) Hình phẳng giới hạn bởi một đồ thị hàm số, trục hoành và hai đường thẳng $x=0,$ $x=b$

HĐ1. Nhận biết công thức tính diện tích

HĐ1. Nhận biết công thức tính diện tích
Xét hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng $y = f (x) = x + 1,$
trục hoành và hai đường thẳng $x = - 2$ , $x = 1$ (H.4.12).
a) Tính diện tích S của hình phẳng này.
b) Tính
$\int_{- 2}^{1} ∣ f (x) ∣ d x$
và so sánh với S.

Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ
thị của hàm số $f (x)$ liên tục, trục hoành và hai
đường thẳng $x = a,$ $x = b$ (a < b), được tính
bằng công thức
$S = \int_{a}^{b} ∣ f (x) ∣ d x .$

Hình 4.12. Đồ thị hàm số

y = x + 1

từ x=-2 đến x=1, giới hạn bởi trục hoành.

Ví dụ 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số $y=x^{3}$ trục hoành và hai đường thẳng $x=0,$ $x=2$ (H.4.13).

Dạng bài: Tính diện tích hình phẳng

Ví dụ 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của
hàm số $y = x^{3}$ trục hoành và hai đường thẳng $x = 0,$ $x = 2$
(H.4.13).

Lời giải

Giải
Diện tích hình phẳng cần tính là
$S = \int_{0}^{2} ∣ x^{3} ∣ d x = \int_{0}^{2} x^{3} d x$
$= \frac{x^{4}}{4} ∣_{0}^{2} = 4 - 0 = 4.$

Hình 4.13. Đồ thị hàm số

y = x^{3}

từ x=0 đến x=2, giới hạn bởi trục hoành.

Ví dụ 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=sin~x$ đường thẳng $x=0$ $x=2\pi$ (Η.4.14).

Dạng bài: Tính diện tích hình phẳng

Ví dụ 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = \sin x$ trục hoành và hai
đường thẳng $x = 0$ $x = 2 π$ (Η.4.14).

Lời giải

Giải
Diện tích hình phẳng cần tính là
$S = \int_{0}^{2 π} ∣ \sin x ∣ d x = \int_{0}^{π} ∣ \sin x ∣ d x + \int_{π}^{2 π} ∣ \sin x ∣ d x$
$= \int_{0}^{π} \sin x d x + \int_{π}^{2 π} (- \sin x d x)$
$= - \cos x ∣_{0}^{π} + \cos x ∣_{π}^{2 π} = 4.$

Hình 4.14. Đồ thị hàm số

y = \sin x

từ x=0 đến x=2π, giới hạn bởi trục hoành.

Luyện tập 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol $y=x^{2}-4,$ trục hoành và hai đường thẳng $x=0$ $x=3$ (H.4.15).

Dạng bài: Tính diện tích hình phẳng

Luyện tập 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol
$y = x^{2} - 4,$ trục hoành và hai đường thẳng $x = 0$
$x = 3$
(H.4.15).

b) Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số và hai đường thẳng $x=0,$ $x=b$

H02. Nhận biết công thức tính diện tích

H02. Nhận biết công thức tính diện tích
Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các
hàm số $f (x) = - x^{2} + 4 x,$ $g (x) = x$ và hai đường thẳng $x = 1$ ,
$x = 3$ (H.4.16).

Hình 4.15. Đồ thị hàm số

y = x^{2} - 4

từ x=0 đến x=3, giới hạn bởi trục hoành.

Hình 4.16. Đồ thị hai hàm số

y = - x^{2} + 4 x

và

y = x

từ x=1 đến x=3.

a) Giả sử $S_{1}$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol $y = - x^{2} + 4 x,$ trục hoành và hai
đường thẳng $x = 1$ , $x = 3$ $S_{2}$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng $y = x_{1}$
trục hoành và hai đường thẳng $x = 1$ , $x = 3$ Tính $S_{1}$ $S_{2}$ và từ đó suy ra S.

b) Tính
$\int_{1}^{3} ∣ f (x) - g (x) ∣ d x$ và so sánh với S.

Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số $f (x)$ , $g (x)$ liên tục
trên đoạn [a; b] và hai đường thẳng $x = a,$ $x = b$ , được tính bằng công thức
$S = \int_{a}^{b} ∣ f (x) - g (x) ∣ d x .$

Chú ý. Nếu hiệu $f(x)-g(x)$ không đổi dấu trên đoạn [a; b] thì

Chú ý. Nếu hiệu $f (x) - g (x)$ không đổi dấu trên đoạn [a; b] thì
$\int_{a}^{b} ∣ f (x) - g (x) ∣ d x = ∣ \int_{a}^{b} [f (x) - g (x)] d x ∣ .$

Ví dụ 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai parabol $y=4-x^{2}$ $y=x^{2}$ và hai đường thẳng $x=-1,$ $x=1(H.4.17)$.

Dạng bài: Tính diện tích hình phẳng

Ví dụ 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai parabol
$y = 4 - x^{2}$ $y = x^{2}$ và hai đường thẳng $x = - 1,$ $x = 1 (H .4.17)$ .

Lời giải

Giải
Diện tích hình phẳng cần tính là
$S = \int_{- 1}^{1} ∣ (4 - x^{2}) - x^{2} ∣ d x = \int_{- 1}^{1} ∣ 4 - 2 x^{2} ∣ d x$
$= \int_{- 1}^{1} (4 - 2 x^{2}) d x = (4 x - \frac{2}{3} x^{3}) ∣_{- 1}^{1} = \frac{20}{3} .$

Hình 4.17. Đồ thị hai parabol

y = 4 - x^{2}

và

y = x^{2}

từ x=-1 đến x=1.

Ví dụ 4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số $y=sin~x,$ $y=cos~x$ và hai đường thẳng $x=0.$ $x=\frac{\pi}{4}$ (H.4.18).

Dạng bài: Tính diện tích hình phẳng

Ví dụ 4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai
hàm số $y = \sin x,$ $y = \cos x$ và hai đường thẳng $x = 0.$ $x = \frac{π}{4}$
(H.4.18).

Lời giải

Giải
Diện tích hình phẳng cần tính là
$S = \int_{0}^{\frac{π}{4}} ∣ \sin x - \cos x ∣ d x = \int_{0}^{\frac{π}{4}} (\cos x - \sin x) d x$
$= (\sin x + \cos x) ∣_{0}^{\frac{π}{4}} = \sqrt{2} - 1.$

Hình 4.18. Đồ thị hai hàm số

y = \sin x

và

y = \cos x

từ x=0 đến x=π/4.

Luyện tập 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số $y=\sqrt{x}$ và hai đường thẳng $x=1,$ $x=4$.

Dạng bài: Tính diện tích hình phẳng

Luyện tập 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số $y = \sqrt{x}$
$y = x - 2$
và hai đường thẳng $x = 1,$ $x = 4$ .

Vận dụng 1. Ta biết rằng hàm cầu liên quan đến giá p của một sản phẩm với nhu cầu của người tiêu dùng, hàm cung liên quan đến giá p của sản phẩm với mức độ sẵn sàng cung cấp sản phẩm của nhà sản xuất. Điểm cắt nhau $(x_{0};p_{0})$ của đồ thị hàm cầu $p=D(x)$ và đồ thị hàm cung $p=S(x)$ được gọi là điểm cân bằng. Các nhà kinh tế gọi diện tích của hình giới hạn bởi đồ thị hàm cầu, đường ngang $p=p_{0}$ và đường thẳng đứng $x=0$ là thặng dư tiêu dùng. Tương tự, diện tích của hình giới hạn bởi đồ thị của hàm cung, đường nằm ngang $p=p_{0}$ và đường thẳng đứng $x=0$ được gọi là thặng dư sản xuất, như trong Hình 4.19.

Vận dụng 1. Ta biết rằng hàm cầu liên quan đến giá p
của một sản phẩm với nhu cầu của người tiêu dùng,
hàm cung liên quan đến giá p của sản phẩm với mức
độ sẵn sàng cung cấp sản phẩm của nhà sản xuất.
Điểm cắt nhau $(x_{0}; p_{0})$ của đồ thị hàm cầu $p = D (x)$ và
đồ thị hàm cung $p = S (x)$ được gọi là điểm cân bằng.
Các nhà kinh tế gọi diện tích của hình giới hạn bởi
đồ thị hàm cầu, đường ngang $p = p_{0}$ và đường thẳng
đứng $x = 0$ là thặng dư tiêu dùng. Tương tự, diện tích
của hình giới hạn bởi đồ thị của hàm cung, đường
nằm ngang $p = p_{0}$ và đường thẳng đứng $x = 0$ được
gọi là thặng dư sản xuất, như trong Hình 4.19.

Hình 4.19. Đồ thị hàm cầu và hàm cung, điểm cân bằng

(x_{0}, p_{0})

, vùng thặng dư tiêu dùng và thặng dư sản xuất.

(Theo R. Larson, Brief Calculus: An Applied Approach,
8th edition, Cengage Learning, 2009)

Giả sử hàm cung và hàm cầu của một loại sản phẩm được mô hình hoá bởi:
Hàm cầu: $p = - 0, 36 x + 9$ và hàm cung: $p = 0, 14 x + 2$ trong đó x là số đơn vị sản phẩm.
Tìm thặng dư tiêu dùng và thặng dư sản xuất cho sản phẩm này.

2. Ứng dụng tích phân để tính thể tích vật thể

a) Tính thể tích của vật thể

HĐ3. Nhận biết công thức tính thể tích vật thể

HĐ3. Nhận biết công thức tính thể tích vật thể
Xét hình trụ có bán kính đáy R, có trục là trục hoành Ox,
nằm giữa hai mặt phẳng $x = a$ và $x = b (a < b)$ (H.4.20).
a) Tính thể tích V của hình trụ.
b) Tính diện tích mặt cắt S(x) khi cắt hình trụ bởi mặt
phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ là x
$(a \leq x \leq b)$ Từ đó tính
$\int_{a}^{b} S (x) d x$
và so sánh với V.

Hình 4.20. Hình trụ có bán kính R, trục Ox, giới hạn bởi x=a và x=b.

Công thức tính thể tích vật thể

Cho một vật thể trong không gian Oxyz. Gọi B là
phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc
với trục Ox tại các điểm có hoành độ $x = a$ $x = b$ .
Một mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có
hoành độ là x cắt vật thể theo mặt cắt có diện tích là
$S (x)$ . Giả sử S(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b].
Khi đó thể tích V của phần vật thể B được tính bởi
công thức
$V = \int_{a}^{b} S (x) d x .$

Hình 4.21. Vật thể B trong không gian Oxyz, mặt cắt S(x) vuông góc với trục Ox tại x.

Ví dụ 5. Tính thể tích của khối lăng trụ có diện tích đáy bằng S và chiều cao bằng h.

Dạng bài: Tính thể tích khối lăng trụ

Ví dụ 5. Tính thể tích của khối lăng trụ có diện tích đáy bằng S
và chiều cao bằng h.

Lời giải

Giải (H.4.22)
Chọn trục Ox song song với đường cao của khối lăng trụ và hai
đáy nằm trên hai mặt phẳng vuông góc với Ox tại $x = 0$ và $x = h$ .
Mỗi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ bằng
x $(0 \leq x \leq h)$ cắt khối lăng trụ theo mặt cắt có diện tích không
đổi là $S (x) = S$
Do đó, thể tích của khối lăng trụ là
$V = \int_{0}^{h} S (x) d x = \int_{0}^{h} S d x = S x ∣_{0}^{h} = S h .$

Hình 4.22. Khối lăng trụ với đáy S, chiều cao h, trục Ox song song với chiều cao.

Ví dụ 6. Tính thể tích của khối chóp đều có đáy là hình vuông cạnh L và chiều cao là h.

Dạng bài: Tính thể tích khối chóp

Ví dụ 6. Tính thể tích của khối chóp đều có đáy là hình vuông cạnh L và chiều cao là h.

Lời giải

Giải (H.4.23)

Hình 4.23. Khối chóp đều có đáy hình vuông cạnh L, chiều cao h, đỉnh tại gốc O, trục Ox đi qua tâm đáy.

Chọn trục Ox sao cho gốc O trùng với đỉnh của khối chóp và trục đi qua tâm của đáy. Khi đó,
đáy của khối chóp nằm trên mặt phẳng vuông góc với Ox tại x = h.
Mỗi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ bằng $x (0 \leq x \leq h)$ cắt khối chóp
theo mặt cắt là hình vuông có cạnh là a.

Theo định lí Thalès, ta có
$\frac{x}{h} = \frac{\frac{a}{2}}{\frac{L}{2}},$
suy ra $a = \frac{L}{h} x .$

Do đó, diện tích của mặt cắt này là
$S (x) = \frac{L^{2}}{h^{2}} x^{2} .$

Vậy thể tích của khối chóp này là $V = \int_{0}^{h} S (x) d x = \int_{0}^{h} \frac{L^{2}}{h^{2}} x^{2} d x = \frac{L^{2}}{h^{2}} \frac{x^{3}}{3} ∣_{0}^{h} = \frac{1}{3} L^{2} h .$

Chú ý. Bằng ứng dụng của tích phân, người ta chứng minh được thể tích của khối chóp bất kì bằng $\frac{1}{3}$ diện tích mặt đáy nhân với chiều cao của nó.

Chú ý. Bằng ứng dụng của tích phân, người ta chứng minh được thể tích của khối chóp bất
kì bằng
$\frac{1}{3}$
diện tích mặt đáy nhân với chiều cao của nó.

Vận dụng 2. Tính thể tích của khối chóp cụt đều có diện tích hai đáy là $S_{0}$ $S_{1}$ và chiều cao bằng h (H.4.24). Từ đó suy ra công thức tính thể tích khối chóp đều có diện tích đáy bằng S và chiều cao bằng h.

Vận dụng 2. Tính thể tích của khối chóp
cụt đều có diện tích hai đáy là $S_{0}$ $S_{1}$
và
chiều cao bằng h (H.4.24). Từ đó suy ra
công thức tính thể tích khối chóp đều có
diện tích đáy bằng S và chiều cao bằng h.

Hình 4.24. Khối chóp cụt đều với hai đáy có diện tích S0, S1 và chiều cao h.

b) Tính thể tích khối tròn xoay

HĐ4. Nhận biết công thức tính thể tích của khối tròn xoay

HĐ4. Nhận biết công thức tính thể tích của khối tròn xoay
Xét hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số trục
$f (x) = \frac{1}{2} x,$
hoành và hai đường thẳng $x = 0$ , $x = 4.$ Khi quay hình phẳng
này xung quanh trục hoành Ox ta được khối nón có đỉnh là
gốc , trục là Ox và đáy là hình tròn bán kính bằng 2 (H.4.25).
a) Tính thể tích V của khối nón.
b) Chứng minh rằng khi cắt khối nón bởi mặt phẳng vuông
góc với trục hoành tại điểm có hoành độ bằng $x (0 \leq x \leq 4)$
thì mặt cắt thu được là một hình tròn có bán kính là $f (x)$ , do
đó diện tích mặt cắt là $S (x) = π f^{2} (x)$ .
Tính $π \int_{0}^{4} f^{2} (x) d x$ và so sánh với V.

Hình 4.25. Khối nón tạo bởi quay đường thẳng

y = \frac{1}{2} x

quanh trục Ox từ x=0 đến x=4.

Công thức tính thể tích của khối tròn xoay

Cho hàm số $f (x)$ liên tục, không âm trên đoạn [a; b].
Khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f (x)$ , trục hoành và hai đường thẳng
$x = a$ , $x = b$ xung quanh trục hoành, ta được hình khối gọi là một khối tròn xoay.
Khi cắt khối tròn xoay đó bởi một mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm $x \in [a; b]$ được
một hình tròn có bán kính $f (x)$ .
Thể tích của khối tròn xoay này là
$V = π \int_{a}^{b} f^{2} (x) d x .$

Ví dụ 7. Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=\sqrt{x}$ trục hoành và hai đường thẳng $x=0$, $x=1$ (H.4.26).

Dạng bài: Tính thể tích khối tròn xoay

Ví dụ 7. Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi
đồ thị hàm số $y = \sqrt{x}$ trục hoành và hai đường thẳng $x = 0$ , $x = 1$ (H.4.26).

Hình 4.26. Đồ thị hàm số

y = \sqrt{x}

từ x=0 đến x=1 và khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục Ox.

Giải

Thể tích khối tròn xoay cần tính là

$V = π \int_{0}^{1} f^{2} (x) d x = π \int_{0}^{1} (\sqrt{x})^{2} d x = π \int_{0}^{1} x d x = \frac{π x^{2}}{2} ∣_{0}^{1} = \frac{π}{2} .$

Ví dụ 8. Tính thể tích của khối cầu bán kính R.

Dạng bài: Tính thể tích khối cầu

Ví dụ 8. Tính thể tích của khối cầu bán kính R.

Lời giải

Giải
Khối cầu bán kính R có thể xem là vật thể sinh ra khi quay
quanh trục hoành nửa hình tròn giới hạn bởi đồ thị hàm số
$y = \sqrt{R^{2} - x^{2}} (- R \leq x \leq R),$ trục hoành và hai đường thẳng
$x = - R$ $x = R (H .4.27)$
Do đó, thể tích của khối cầu bán kính R là
$V = π \int_{- R}^{R} (\sqrt{R^{2} - x^{2}})^{2} d x = π \int_{- R}^{R} (R^{2} - x^{2}) d x$
$= π (R^{2} x - \frac{x^{3}}{3})_{- R}^{R} = \frac{4}{3} π R^{3} .$

Hình 4.27. Nửa đường tròn

y = \sqrt{R^{2} - x^{2}}

và khối cầu tạo thành khi quay quanh trục Ox.

Vận dụng 3. a) Tính thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay hình thang vuông OABC trong mặt phẳng Oxy với $OA=h,$ $AB=R$ và $OC=r$ quanh trục Ox (H.4.28).

Vận dụng 3. a) Tính thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi
quay hình thang vuông OABC trong mặt phẳng Oxy
với $O A = h,$ $A B = R$ và $O C = r$ quanh trục Ox (H.4.28).
b) Từ công thức thu được ở phần a, hãy rút ra công thức
tính thể tích của khối nón có bán kính đáy bằng R và
chiều cao h.

Hình 4.28. Hình thang vuông OABC quay quanh trục Ox tạo thành hình chóp cụt.

Bài tập

4.14. Tính diện tích của hình phẳng được tô màu trong Hình 4.29.

Dạng bài: Tính diện tích hình phẳng

4.14. Tính diện tích của hình phẳng được tô màu trong Hình 4.29.

Hình 4.29. Đồ thị hai hàm số

y = 5 x - x^{2}

và

y = x

, với vùng tô màu.

4.15. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường:

Dạng bài: Tính diện tích hình phẳng

4.15. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường:
a)
$y = e^{x}$ , $y = x^{2} - 1$ ,x $x = - 1$ =-1,x $x = 1;$ =1 TRỊ
b) $y = \sin x,$ $y = x$ , x = $x = π;$ x
c) $y = 9 - x^{2}$ , $y = 2 x^{2}$ , $x = - \sqrt{3},$ $x = \sqrt{3};$
d) $y = \sqrt{x},$ $y = x^{2}$ $x = 0$ , $x = 1$ .

4.16. Các nhà kinh tế sử dụng đường cong Lorenz để minh hoạ sự phân phối thu nhập trong một quốc gia. Gọi x là đại diện cho phần trăm số gia đình trong một quốc gia và y là phần trăm tổng thu nhập, mô hình $y=x$ sẽ đại diện cho một quốc gia mà các gia đình có thu nhập như nhau. Đường cong Lorenz $y=f(x)$, biểu thị phân phối thu nhập thực tế. Diện tích giữa hai mô hình này, với $0\le x\le100$ biểu thị “sự bất bình đẳng về thu nhập” của một quốc gia. Năm 2005, đường cong Lorenz của Hoa Kỳ có thể được mô hình hoá bởi hàm số y = (0,00061x2 +0,0218x +1 723)²,

Dạng bài: Tính diện tích giữa hai đường cong

4.16. Các nhà kinh tế sử dụng đường cong Lorenz để minh hoạ sự phân phối thu nhập trong
một quốc gia. Gọi x là đại diện cho phần trăm số gia đình trong một quốc gia và y là
phần trăm tổng thu nhập, mô hình $y = x$ sẽ đại diện cho một quốc gia mà các gia đình
có thu nhập như nhau. Đường cong Lorenz $y = f (x)$ , biểu thị phân phối thu nhập thực tế.
Diện tích giữa hai mô hình này, với $0 \leq x \leq 100$ biểu thị “sự bất bình đẳng về thu nhập”
của một quốc gia. Năm 2005, đường cong Lorenz của Hoa Kỳ có thể được mô hình
hoá bởi hàm số
y = (0,00061x2 +0,0218x +1 723)²,
$0 \leq x \leq 100,$
trong đó x được tính từ các gia đình nghèo nhất đến giàu có nhất (Theo R. Larson,
Brief Calculus: An Applied Approach, 8th edition, Cengage Learning, 2009)
Tìm sự bất bình đẳng thu nhập của Hoa Kỳ vào năm 2005.

4.17. Tính thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường sau xung quanh trục Ox: $y=2x-x^{2}$ $y=0$ $x=0$ x = 2.

Dạng bài: Tính thể tích khối tròn xoay

4.17. Tính thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường
sau xung quanh trục Ox: $y = 2 x - x^{2}$ $y = 0$ $x = 0$ x = 2.

4.18. Khối chỏm cầu có bán kính R và chiều cao h $(0<h\le R)$ sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi cung tròn có phương trình $y=\sqrt{R^{2}-x^{2}},$ trục hoành và hai đường thẳng $x=R-h$, $x=R$ xung quanh trục Ox (H.4.30). Tính thể tích của khối chỏm cầu này.

Dạng bài: Tính thể tích khối tròn xoay

4.18. Khối chỏm cầu có bán kính R và chiều cao h $(0 < h \leq R)$ sinh ra khi quay hình phẳng
giới hạn bởi cung tròn có phương trình $y = \sqrt{R^{2} - x^{2}},$ trục hoành và hai đường thẳng
$x = R - h$ , $x = R$ xung quanh trục Ox (H.4.30). Tính thể tích của khối chỏm cầu này.

Hình 4.30. Cung tròn

y = \sqrt{R^{2} - x^{2}}

từ x=R-h đến x=R và khối chỏm cầu tạo thành khi quay quanh trục Ox.

4.19. Cho tam giác vuông OAB có cạnh $OA=a$ nằm trên trục Ox và $\overline{AOB}=\alpha(0<\alpha\le\frac{\pi}{4})$ Gọi B là khối tròn xoay sinh ra khi quay miền tam giác OAB xung quanh trục Ox (H.4.31).

Dạng bài: Tính thể tích khối tròn xoay và tìm giá trị lớn nhất

4.19. Cho tam giác vuông OAB có cạnh $O A = a$ nằm trên trục Ox và
$\overline{A O B} = α (0 < α \leq \frac{π}{4})$
Gọi B là khối tròn xoay sinh ra khi quay miền tam giác OAB xung quanh trục Ox (H.4.31).
a) Tính thể tích V của B theo a và a
b) Tìm a sao cho thể tích V lớn nhất.

Hình 4.31. Tam giác vuông OAB với OA=a trên trục Ox, góc AOB=α, và khối nón cụt tạo thành khi quay quanh trục Ox.

Xem bản PDF nguyên trang sách: Toán 12 tập 2 – Kết nối tri thức với cuộc sống (trang 19–26).