Bài 16. Công thức tính góc trong không gian

Yêu cầu cần đạt

Tính góc giữa hai đường thẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng.
Vận dụng kiến thức về góc vào một số bài toán liên quan đến thực tiễn.

Thuật ngữ: Góc giữa hai đường thẳng · Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng · Góc giữa hai mặt phẳng

Một mái nhà hình tròn được đặt trên ba cây cột trụ
(H.5.33). Các cây cột vuông góc với mặt sàn nhà phẳng
và có độ cao lần lượt là 7 m, 6 m, 5 m. Ba chân cột là ba
đỉnh của một tam giác đều trên mặt sàn nhà với cạnh dài
4 m. Hỏi mái nhà nghiêng với mặt sàn nhà một góc bao
nhiêu độ?

Hình 5.33. Hình 5.33: Một mái nhà hình tròn được đỡ bởi ba cột trụ A'A, B'B, C'C trên mặt phẳng Oxy. Các điểm A, B, C tạo thành một tam giác đều trên mặt phẳng Oxy. Các điểm A', B', C' nằm trên mái nhà.

1. Công thức tính góc giữa hai đường thẳng

HĐ1

Tìm mối quan hệ của góc giữa hai đường
thẳng và góc giữa hai vectơ chỉ phương
Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng
$Δ$ và $Δ^{'}$ tương ứng có các vectơ chỉ phương
$\vec{u} = (a; b; c)$ $\vec{u^{'}} = (a^{'}; b^{'}; c^{'})$ (H.5.34).
a) Hãy tìm mối quan hệ giữa các góc $(Δ, Δ^{'})$ và
$(\vec{u}, \vec{u^{'}})$
b) Có nhận xét gì về mối quan hệ giữa
$\cos (Δ, Δ^{'})$ và $∣ \cos (\vec{u}, \vec{u^{'}}) ∣$ ?

Hình 5.34. Hình 5.34: Hai đường thẳng

Δ

và

Δ^{'}

với các vectơ chỉ phương

\vec{u}

và

\vec{u^{'}}

. Hình a) thể hiện hai đường thẳng cắt nhau. Hình b) thể hiện hai đường thẳng song song.

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng $Δ$ và $Δ^{'}$ tương ứng có vectơ chỉ phương
$\vec{u} = (a; b; c)$ , $\vec{u^{'}} = (a^{'}; b^{'}; c^{'})$ . Khi đó:
$\cos (Δ, Δ^{'}) = ∣ \cos (\vec{u}, \vec{u^{'}}) ∣ = \frac{∣ a a^{'} + b b^{'} + c c^{'} ∣}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}} \cdot \sqrt{a^{' 2} + b^{' 2} + c^{' 2}}} .$

Ví dụ 1

Trong không gian Oxyz, tính góc giữa hai đường
thẳng:
$Δ : {\begin{cases} x = 1 + t \\ y = - 1 + t \\ z = 3 \end{cases}$ và $Δ^{'} : {\begin{cases} x = 1 + 2 s \\ y = - 2 + 2 s \\ z = 4 + s . \end{cases}$

Lời giải

Hai đường thẳng $Δ$ và $Δ^{'}$ tương ứng có các vectơ chỉ phương
$\vec{u} = (1; 1; 0)$ $\vec{u^{'}} = (2; 2; 1)$ . Khi đó:
$\cos (Δ, Δ^{'}) = ∣ \cos (\vec{u}, \vec{u^{'}}) ∣ = \frac{∣ 1 \cdot 2 + 1 \cdot 2 + 0 \cdot 1 ∣}{\sqrt{1^{2} + 1^{2} + 0^{2}} \cdot \sqrt{2^{2} + 2^{2} + 1^{2}}} = \frac{2 \sqrt{2}}{3} .$
Vậy $(Δ, Δ^{'}) \approx 19, 5^{\circ}$

Trong bài học này, nếu
không nói gì thêm, ta quy
ước tính góc theo đơn vị độ
và làm tròn đến chữ số thập
phân thứ nhất.

Luyện tập 1

Trong không gian Oxyz, tính góc giữa trục Oz và đường thẳng
$Δ : \frac{x - 3}{1} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z - 1}{- 2} .$

2. Công thức tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

HĐ2

Tìm mối quan hệ của góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
với góc giữa vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến tương ứng
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $Δ$ và mặt phẳng (P). Xét
$\vec{u} = (a; b; c)$ là một vectơ chỉ phương của $Δ$ và $\vec{n} = (A; B; C)$ (với giá
$Δ)$ là một vectơ pháp tuyến của (P). (H.5.35)
a) Hãy tìm mối quan hệ giữa các góc $(Δ, (P))$ và $(\vec{u}, \vec{n})$ .
b) Có nhận xét gì về mối quan hệ giữa $\sin (Δ, (P))$ và $∣ \cos (\vec{u}, \vec{n}) ∣$ ?

Hình 5.35. Hình 5.35: Một đường thẳng

Δ

với vectơ chỉ phương

\vec{u}

và một mặt phẳng (P) với vectơ pháp tuyến

\vec{n}

. Góc giữa

Δ

và (P) được biểu diễn.

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $Δ$ có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (a; b; c)$ và mặt phẳng
(P) có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (A; B; C)$ . Khi đó:
$\sin (Δ, (P)) = ∣ \cos (\vec{u}, \vec{n}) ∣ = \frac{∣ a A + b B + c C ∣}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}} \cdot \sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}} .$

Ví dụ 2

Trong không gian Oxyz, tính góc tạo bởi trục Ox và mặt phẳng (P): $\sqrt{2} x - y + z + 2 = 0$ .

Lời giải

Trục Ox có vectơ chỉ phương $\vec{i} = (1; 0; 0)$ , mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (\sqrt{2}; - 1; 1)$ .
Ta có:
$\sin (O x, (P)) = \frac{∣ 1 \cdot \sqrt{2} + 0 \cdot (- 1) + 0 \cdot 1 ∣}{\sqrt{1^{2} + 0^{2} + 0^{2}} \cdot \sqrt{(\sqrt{2})^{2} + (- 1)^{2} + 1^{2}}} = \frac{\sqrt{2}}{2} .$
Vậy Ox tạo với (P) góc 45°.

Luyện tập 2

Trong không gian Oxyz, tính góc giữa đường thẳng $Δ$ và mặt phẳng (P), với:
$Δ : \frac{x + 2}{- 1} = \frac{y - 4}{2} = \frac{z + 1}{1}, (P) : x - y + z - 1 = 0.$

3. Công thức tính góc giữa hai mặt phẳng

HĐ3

Tìm mối quan hệ của góc giữa hai mặt phẳng và góc giữa
hai vectơ pháp tuyến
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P), (Q) tương ứng có các
vectơ pháp tuyến là $\vec{n} = (A; B; C)$ , $\vec{n^{'}} = (A^{'}; B^{'}; C) .$ Lấy các đường
thẳng $Δ$ , $Δ^{'}$ tương ứng có vectơ chỉ phương $\vec{n}$ , $\vec{n^{'}}$ (H.5.36)
a) Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) và góc giữa hai đường thẳng
$Δ$ và $Δ^{'}$ có mối quan hệ gì?
b) Tính côsin của góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q).

Hinh 5.36. Hình 5.36: Hai mặt phẳng (P) và (Q) giao nhau, với các vectơ pháp tuyến

\vec{n}

và

\vec{n^{'}}

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P), (Q) tương ứng có các vectơ pháp tuyến
là $\vec{n} = (A; B; C)$ $\vec{n^{'}} = (A^{'}; B^{'}; C)$ . Khi đó, góc giữa (P) và (Q), kí hiệu là ((P), (Q)), được
tính theo công thức:
$\cos ((P), (Q)) = ∣ \cos (\vec{n}, \vec{n^{'}}) ∣ = \frac{∣ A A^{'} + B B^{'} + C C^{'} ∣}{\sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}} \cdot \sqrt{A^{' 2} + B^{' 2} + C^{' 2}}} .$

Ví dụ 3

Trong không gian Oxyz, tính góc giữa hai mặt phẳng $(P) : x + 2 y + 2 z - 1 = 0$ và
(Q): $x + y - z + 1 = 0$

Lời giải

Các mặt phẳng (P), (Q) tương ứng có các vectơ pháp tuyến là $\vec{n} = (1; 2; 2)$ , $\vec{n^{'}} = (1; 1; - 1) .$
Ta có: $\cos ((P), (Q)) = \frac{∣ 1 \cdot 1 + 2 \cdot 1 + 2 \cdot (- 1) ∣}{\sqrt{1^{2} + 2^{2} + 2^{2}} \cdot \sqrt{1^{2} + 1^{2} + (- 1)^{2}}} = \frac{1}{3} .$
Do đó $((P), (Q)) \approx 78, 9^{\circ}$ .

Luyện tập 3

Trong không gian Oxyz, tính góc giữa hai mặt phẳng ( $P) : x - \sqrt{2} y + z - 2 = 0$ và
(Oxz): y = 0.

Ví dụ 4

Trong không gian Oxyz, cho $A (0; 0; 4)$ , $B (0; - 3; 0)$ , $C (0; 3; 0)$ , $D (3; 0; 0) .$ Tính góc
giữa hai mặt phẳng (ABD) và (ACD).

Hình/bảng: Hình 5.37: Hệ trục tọa độ Oxyz với các điểm A(0,0,4), B(0,-3,0), C(0,3,0), D(3,0,0) được đánh dấu. Các mặt phẳng (ABD) và (ACD) được hình dung.

Lời giải

Mặt phẳng (ABD) có cặp vectơ chỉ phương là $\vec{B D} = (3; 3; 0)$
và $\vec{A D} = (3; 0; - 4) .$
Suy ra (ABD) có vectơ pháp tuyến $[\vec{B D}, \vec{A D}] = (- 12; 12; - 9)$ .
Do đó $\vec{n} = (- 4; 4; - 3)$ cũng là vectơ pháp tuyến của (ABD).
Mặt phẳng (ACD) có cặp vectơ chỉ phương là $\vec{A C} = (0; 3; - 4)$
và $\vec{A D} = (3; 0; - 4)$ . Suy ra (ACD) có vectơ pháp tuyến là
$[\vec{A C}, \vec{A D}] = (- 12; - 12; - 9)$ . Do đó $\vec{m} = (4; 4; 3)$ cũng là vectơ
pháp tuyến của (ACD).

Gọi $φ$ là góc giữa hai mặt phẳng (ABD) và (ACD). Khi đó:
$\cos φ = ∣ \cos (\vec{n}, \vec{m}) ∣ = \frac{∣ - 4 \cdot 4 + 4 \cdot 4 + (- 3) \cdot 3 ∣}{\sqrt{(- 4)^{2} + 4^{2} + (- 3)^{2}} \cdot \sqrt{4^{2} + 4^{2} + 3^{2}}} = \frac{9}{41} .$
Vậy $φ \approx 77, 3^{\circ}$

Vận dụng

Hãy trả lời câu hỏi đã được nêu ra trong tình huống mở đầu.

Bài tập

5.20

Trong không gian Oxyz, tính góc giữa hai đường thẳng:
$Δ_{1} : {\begin{cases} x = 1 + 2 t \\ y = 1 - t \end{cases}$ và $Δ_{2} : \frac{x - 2}{- 1} = \frac{x + 1}{1} = \frac{z - 2}{2} .$

5.21

Trong không gian Oxyz, tính góc giữa trục Oz và mặt phẳng ( $(P) : x + 2 y - z - 1 = 0$

5.22

Tính góc giữa đường thẳng $Δ : \frac{x + 1}{- 1} = \frac{y - 3}{2} = \frac{z + 2}{3}$ và mặt phẳng $(P) : x + y + z + 3 = 0$ .

5.23

Kim tự tháp Kheops ở Ai Cập có dạng
hình chóp S.ABCD, có đáy là hình vuông
với cạnh dài 230 m, các cạnh bên bằng
nhau và dài 219 m (theo britannica.com)
(H.5.38). Tính góc giữa hai mặt phẳng
(SAB) và (SBC).

Hình/bảng: Hình 5.38. Kim tự tháp Kheops: Ảnh chụp kim tự tháp Kheops.

5.24

(H.5.39) Trong một bể hình lập phương
cạnh 1 m có chứa một ít nước. Người
ta đặt đáy bể nghiêng so với mặt phẳng
nằm ngang. Biết rằng, lúc đó mặt nước
có dạng hình bình hành ABCD và khoảng
cách từ các điểm A, B, C đến đáy bể
tương ứng là 40 cm, 44 cm, 48 cm.
a) Khoảng cách từ điểm D đến đáy bể bằng bao nhiêu centimét? (Tính gần đúng, lấy
giá trị nguyên.)
b) Đáy bể nghiêng so với mặt phẳng nằm ngang một góc bao nhiêu độ?

Hình/bảng: Hình 5.39: Hai hình vẽ của một bể hình lập phương. Hình bên trái là bể chứa nước với mực nước nằm ngang. Hình bên phải là bể chứa nước với đáy bể nghiêng, mực nước tạo thành hình bình hành ABCD.

Xem bản PDF nguyên trang sách: Toán 12 tập 2 – Kết nối tri thức với cuộc sống (trang 50–53).