Bài 11. Nguyên hàm – Toán 12 tập 2 Kết nối tri thức

Yêu cầu cần đạt

Nhận biết khái niệm nguyên hàm của một hàm số.
Giải thích một số tính chất của nguyên hàm.
Tìm nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp thường gặp.

Thuật ngữ: Nguyên hàm · Họ các nguyên hàm · Bảng nguyên hàm

Chương IV nguyên hàm và tích phân

Chương này trình bày khái niệm, tính chất cơ bản của nguyên hàm và tích phân cũng như
ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng và thể tích vật thể.

THUẬT NGỮ

Nguyên hàm
Họ các nguyên hàm
Bảng nguyên hàm

KIẾN THỨC, KĨ NĂNG

Nhận biết khái niệm nguyên hàm của một hàm số.
Giải thích một số tính chất của nguyên hàm.
Tìm nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp thường gặp.

Một máy bay di chuyển ra đến đường băng và bắt đầu chạy
đà để cất cánh. Giả sử vận tốc của máy bay khi chạy đà
được cho bởi $v (t) = 5 + 3 t$ (m/s), với $t$ là thời gian (tính bằng
giây) kể từ khi máy bay bắt đầu chạy đà. Sau 30 giây thì máy
bay cất cánh rời đường băng. Quãng đường máy bay đã di
chuyển từ khi bắt đầu chạy đà đến khi rời đường băng là bao
nhiêu mét?

Hình 4.1. An airplane on a runway, with a dashed line indicating its path.

Ta cần tìm quãng đường $S (t)$ mà máy bay di chuyển được
sau $t$ giây kể từ lúc bắt đầu chạy đà. Từ ý nghĩa cơ học của
đạo hàm, ta biết rằng $S^{'} (t) = v (t)$ . Như vậy, ta cần tìm một
hàm số có đạo hàm bằng hàm số $v (t)$ đã cho. Bài toán này
dẫn đến một khái niệm quan trọng trong Toán học, đó là
khái niệm nguyên hàm.

1. Nguyên hàm của một hàm số

HĐ1.

Nhận biết khái niệm nguyên hàm
Cho hai hàm số $f (x) = x^{2} - 1$ và $F (x) = \frac{1}{3} x^{3} - x^{2} + x$ , với $x \in R$ .
a) Tính đạo hàm của hàm số $F (x)$ .
b) $F^{'} (x)$ và $f (x)$ có bằng nhau không?

Cho hàm số $f (x)$ xác định trên một khoảng $K$ (hoặc một đoạn, hoặc một nửa khoảng).
Hàm số $F (x)$ được gọi là một nguyên hàm của hàm số $f (x)$ trên $K$ nếu $F^{'} (x) = f (x)$ với
mọi $x$ thuộc $K$ .

Chú ý.

Trường hợp $K = [a, b]$ thì các đẳng thức $F^{'} (a) = f (a)$ và $F^{'} (b) = f (b)$ được hiểu là
đạo hàm bên phải tại điểm $x = a$ và đạo hàm bên trái tại điểm $x = b$ của hàm số $F (x)$ , tức là
$\lim_{x \to a^{+}} \frac{F (x) - F (a)}{x - a} = f (a)$ và $\lim_{x \to b^{-}} \frac{F (x) - F (b)}{x - b} = f (b)$ .

Ví dụ 1.

Dạng bài: Nhận biết nguyên hàm

Cho hàm số $f (x) = x^{2} - 2 x$ . Trong các hàm số cho dưới đây, hàm số nào là một
nguyên hàm của hàm số $f (x)$ trên $R$ ?
a) $F (x) = \frac{x^{3}}{3} - x^{2}$ ;
b) $G (x) = \frac{x^{3}}{3} + x^{2}$ .

Lời giải

Giải
Ta có: $F^{'} (x) = x^{2} - 2 x$ , $G^{'} (x) = x^{2} + 2 x$ .
Vì $F^{'} (x) = f (x)$ với mọi $x \in R$ nên hàm số $F (x)$ là một nguyên hàm của $f (x)$ trên $R$ .
Hàm số $G (x)$ không là nguyên hàm của $f (x)$ trên $R$ vì với $x = 1$ , ta có
$G^{'} (1) = 3 - 1 = f (1)$ .

Luyện tập 1.

Dạng bài: Nhận biết nguyên hàm

Hàm số nào dưới đây là một nguyên hàm của hàm số $f (x) = x - \frac{1}{x}$ trên khoảng
$(0; + \infty)$ ?
a) $F (x) = \frac{1}{2} x^{2} + \ln x$ ;
b) $G (x) = \frac{x^{2}}{2} - \ln x$ .

HĐ2.

Nhận biết họ nguyên hàm của một hàm số
a) Chứng minh rằng hàm số $F (x) = \frac{x^{4}}{4}$ là một nguyên hàm của hàm số $f (x) = x^{3}$ trên $R$ .
b) Hàm số $G (x) = \frac{x^{4}}{4} + C$ (với $C$ là hằng số) có là một nguyên hàm của hàm số $f (x)$
trên $R$ không? Vì sao?

Giả sử hàm số $F (x)$ là một nguyên hàm của $f (x)$ trên $K$ . Khi đó:
a) Với mỗi hằng số $C$ , hàm số $F (x) + C$ cũng là một nguyên hàm của $f (x)$ trên $K$ ;
b) Nếu hàm số $G (x)$ là một nguyên hàm của $f (x)$ trên $K$ thì tồn tại một hằng số $C$ sao
cho $G (x) = F (x) + C$ với mọi $x \in K$ .
Như vậy, nếu $F (x)$ là một nguyên hàm của $f (x)$ trên $K$ thì mọi nguyên hàm của $f (x)$
trên $K$ đều có dạng $F (x) + C$ ( $C$ là hằng số). Ta gọi $F (x) + C$ ( $C \in R$ ) là họ các nguyên hàm
của $f (x)$ trên $K$ , kí hiệu bởi $\int f (x) d x$ .

Chú ý

a) Để tìm họ các nguyên hàm (gọi tắt là tìm nguyên hàm) của hàm số $f (x)$ trên $K$ , ta chỉ cần
tìm một nguyên hàm $F (x)$ của $f (x)$ trên $K$ và khi đó
$\int f (x) d x = F (x) + C$ , $C$ là hằng số.
b) Người ta chứng minh được rằng, nếu hàm số $f (x)$ liên tục
trên khoảng $K$ thì $f (x)$ có nguyên hàm trên khoảng đó.
c) Biểu thức $f (x) d x$ gọi là vi phân của nguyên hàm $F (x)$ ,
kí hiệu là $d F (x)$ . Vậy $d F (x) = F^{'} (x) d x = f (x) d x$ .
d) Khi tìm nguyên hàm của một hàm số mà không chỉ rõ tập $K$ ,
ta hiểu là tìm nguyên hàm của hàm số đó trên tập xác định
của nó.

Hình 4.2.. Diagram showing the relationship between derivative and antiderivative. An arrow from F(x) to f(x) is labeled 'Tính đạo hàm'. An arrow from f(x) to F(x) is labeled 'Tìm nguyên hàm'.

Ví dụ 2.

Dạng bài: Tìm nguyên hàm

Tìm một nguyên hàm của hàm số $f (x) = x^{2}$ trên $R$ . Từ đó hãy tìm $\int x^{2} d x$ .

Lời giải

Giải
Ta có: $F^{'} (x) = (\frac{x^{3}}{3})^{'} = \frac{3 x^{2}}{3} = x^{2}$ nên $F (x) = \frac{x^{3}}{3}$ là một nguyên hàm của hàm số $f (x)$ trên $R$ .
Do đó, $\int x^{2} d x = \frac{x^{3}}{3} + C$ .

Luyện tập 2.

Dạng bài: Tìm nguyên hàm

Tìm $\int x^{3} d x$ .

2. Tính chất cơ bản của nguyên hàm

HĐ3.

Khám phá nguyên hàm của tích một hàm số với một hằng số khác 0
Cho $f (x)$ là hàm số liên tục trên $K$ , $k$ là một hằng số khác 0. Giả sử $F (x)$ là một nguyên hàm
của $f (x)$ trên $K$ .
a) Chứng minh $k F (x)$ là một nguyên hàm của hàm số $k f (x)$ trên $K$ .
b) Nêu nhận xét về $\int k f (x) d x$ và $k \int f (x) d x$ .

$\int k f (x) d x = k \int f (x) d x$ ( $k \neq 0$ ).

Ví dụ 3.

Dạng bài: Tính nguyên hàm

Sử dụng kết quả của Ví dụ 2, hãy tìm:
a) $\int 3 x^{2} d x$ ;
b) $\int - \frac{1}{2} x^{2} d x$ .

Lời giải

Giải
Ta có:
a) $\int 3 x^{2} d x = 3 \int x^{2} d x = 3 \cdot \frac{x^{3}}{3} + C = x^{3} + C$ .
b) $\int - \frac{1}{2} x^{2} d x = - \frac{1}{2} \int x^{2} d x = - \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{3}}{3} + C = - \frac{x^{3}}{6} + C$ .

Luyện tập 3.

Dạng bài: Tìm nguyên hàm

Cho hàm số $F (x) = x^{n}$ ( $n \in N^{*}$ ).
a) Chứng minh rằng hàm số $F (x) = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ là một nguyên hàm của hàm số $f (x)$ . Từ đó tìm
$\int x^{n} d x$ .
b) Từ kết quả câu a, tìm $\int (k x^{n}) d x$ ( $k$ là hằng số thực khác 0).

HĐ4.

Khám phá nguyên hàm của một tổng
Cho $f (x)$ và $g (x)$ là hai hàm số liên tục trên $K$ . Giả sử $F (x)$ là một nguyên hàm của $f (x)$ ,
$G (x)$ là một nguyên hàm của $g (x)$ trên $K$ .
a) Chứng minh $F (x) + G (x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f (x) + g (x)$ trên $K$ .
b) Nêu nhận xét về $\int [f (x) + g (x)] d x$ và $\int f (x) d x + \int g (x) d x$ .

$\int [f (x) + g (x)] d x = \int f (x) d x + \int g (x)] d x$ .
$\int [f (x) - g (x)] d x = \int f (x) d x - \int g (x)] d x$ .

Ví dụ 4.

Dạng bài: Tính nguyên hàm

Sử dụng kết quả của Luyện tập 3 và tính chất cơ bản của nguyên hàm, hãy tìm:
a) $\int (x^{2} + x) d x$ ;
b) $\int (4 x^{3} - 3 x^{2}) d x$ .

Lời giải

Giải
Ta có:
a) $\int (x^{2} + x) d x = \int x^{2} d x + \int x d x = \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} + C$ .
b) $\int (4 x^{3} - 3 x^{2}) d x = 4 \int x^{3} d x - 3 \int x^{2} d x = 4 \cdot \frac{x^{4}}{4} - 3 \cdot \frac{x^{3}}{3} + C = x^{4} - x^{3} + C$ .

Luyện tập 4.

Dạng bài: Tìm nguyên hàm

Tìm:
a) $\int (2 x^{3} + 1) d x$ ;
b) $\int (2 x - 1)^{2} d x$ .

Ví dụ 5.

Giải bài toán trong tình huống mở đầu.

Vận dụng.

Dạng bài: Giải bài toán thực tế

Doanh thu bán hàng của một công ty khi bán một loại sản phẩm là số tiền $R (x)$
(triệu đồng) thu được khi $x$ đơn vị sản phẩm được bán ra. Tốc độ biến động (thay đổi) của
doanh thu khi $x$ đơn vị sản phẩm đã được bán là hàm số $M_{R} (x) = R^{'} (x)$ . Một công ty công
nghệ cho biết, tốc độ biến đổi của doanh thu khi bán một loại con chíp của hãng được cho
bởi $M_{R} (x) = 300 - 0, 1 x$ , ở đó $x$ là số lượng chíp đã bán. Tìm doanh thu của công ty khi đã
bán 1 000 con chíp.
Hướng dẫn: Vì $R^{'} (x) = M_{R} (x)$ nên doanh thu $R (x)$ là một nguyên hàm của $M_{R} (x)$ .

3. Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp

a) Nguyên hàm của hàm số luỹ thừa

Hàm số $y = x^{α}$ , với $α \in R$ , được gọi là hàm số luỹ thừa.
Tập xác định của hàm số luỹ thừa $y = x^{α}$ tuỳ thuộc vào giá trị của $α$ . Cụ thể:

Với $α$ nguyên dương, tập xác định là $R$ ;
Với $α$ nguyên âm hoặc bằng 0, tập xác định là $R ∖ {0}$ ;
Với $α$ không nguyên, tập xác định là $(0; + \infty)$ .

Ở lớp 11, ta đã biết đạo hàm của các hàm số $y = x^{n}$ ( $n \in N^{*}$ ) và $y = \sqrt{x}$ là:
$(x^{n})^{'} = n x^{n - 1}$ ;
$(\sqrt{x})^{'} = \frac{1}{2 \sqrt{x}}$ hay $(x^{\frac{1}{2}})^{'} = \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$ ( $x > 0$ ).
Tổng quát, người ta chứng minh được
Hàm số luỹ thừa $y = x^{α}$ ( $α \in R$ ) có đạo hàm với mọi $x > 0$ và
$(x^{α})^{'} = α x^{α - 1}$ .

Bằng cách viết lại các hàm số sau dưới dạng hàm số luỹ thừa $y = x^{α}$ ( $x > 0$ ), hãy tính đạo
hàm của các hàm số sau với $x > 0$ : $y = \frac{1}{x^{3}}$ ; $y = x \sqrt{x}$ ; $y = \frac{1}{\sqrt{x}}$ .

HĐ5.

Khám phá nguyên hàm của hàm số luỹ thừa
a) Với $α = - 1$ , tính đạo hàm của hàm số $y = \frac{x^{α + 1}}{α + 1}$ ( $x > 0$ ).
b) Cho hàm số $y = \ln ∣ x ∣$ ( $x \neq 0$ ). Tính đạo hàm của hàm số này trong hai trường hợp: $x > 0$
và $x < 0$ .
Từ kết quả của HĐ5, ta có

$\int x^{α} d x = \frac{x^{α + 1}}{α + 1} + C$ ( $α \neq - 1$ ).
$\int \frac{1}{x} d x = \ln ∣ x ∣ + C$ .

Ví dụ 6.

Dạng bài: Tính nguyên hàm hàm lũy thừa

Tìm:
a) $\int \sqrt{x} d x$ ( $x > 0$ );
b) $\int \frac{1}{x^{3}} d x$ ;
c) $\int (2 x^{2} + \frac{3}{\sqrt{x}}) d x$ .

Giải
a) $\int \sqrt{x} d x = \int x^{\frac{1}{2}} d x = \frac{x^{\frac{1}{2} + 1}}{\frac{1}{2} + 1} + C = \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C = \frac{2}{3} x \sqrt{x} + C$ .
b) $\int \frac{1}{x^{3}} d x = \int x^{- 3} d x = \frac{x^{- 3 + 1}}{- 3 + 1} + C = \frac{x^{- 2}}{- 2} + C = - \frac{1}{2 x^{2}} + C$ .
c) $\int (2 x^{2} + \frac{3}{\sqrt{x}}) d x = \int 2 x^{2} d x + \int \frac{3}{\sqrt{x}} d x = 2 \int x^{2} d x + 3 \int x^{- \frac{1}{2}} d x = 2 \cdot \frac{x^{3}}{3} + 3 \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C = \frac{2}{3} x^{3} + 6 \sqrt{x} + C$ .

Luyện tập 5.

Dạng bài: Tìm nguyên hàm hàm lũy thừa

Tìm:
a) $\int \frac{1}{x^{2}} d x$ ;
b) $\int x \sqrt{x} d x$ ( $x > 0$ );
c) $\int (\frac{3}{x^{2}} - 5 \sqrt{x}) d x$ ( $x > 0$ ).

b) Nguyên hàm của hàm số lượng giác

HĐ6.

Khám phá nguyên hàm của hàm số lượng giác
a) Tính đạo hàm của các hàm số sau và nêu kết quả tương ứng vào bảng dưới đây.
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
F(x) & \sin x & \cos x & \tan x & \cot x \\
\hline
F'(x) & ? & ? & ? & ? \\
\hline
\end{array}
b) Sử dụng kết quả ở câu a, tìm nguyên hàm của các hàm số cho trong bảng dưới đây.
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
f(x) & \cos x & \sin x & \frac{1}{\cos^2 x} & \frac{1}{\sin^2 x} \\
\hline
\int f(x)dx & ? & ? & ? & ? \\
\hline
\end{array}
Từ kết quả của HĐ6, ta có

$\int \cos x d x = \sin x + C$ ;
$\int \sin x d x = - \cos x + C$ ;
$\int \frac{1}{\cos^{2} x} d x = \tan x + C$ ;
$\int \frac{1}{\sin^{2} x} d x = - \cot x + C$ .

Ví dụ 7.

Dạng bài: Tính nguyên hàm hàm lượng giác

Tìm:
a) $\int (\cos x + \sin x) d x$ ;
b) $\int (2 \cos x - \frac{1}{\cos^{2} x}) d x$ .

Lời giải

Giải
a) $\int (\cos x + \sin x) d x = \int \cos x d x + \int \sin x d x = \sin x - \cos x + C$ .
b) $\int (2 \cos x - \frac{1}{\cos^{2} x}) d x = 2 \int \cos x d x - \int \frac{1}{\cos^{2} x} d x = 2 \sin x - \tan x + C$ .

Luyện tập 6.

Dạng bài: Tìm nguyên hàm hàm lượng giác

Tìm:
a) $\int (3 \cos x - 4 \sin x) d x$ ;
b) $\int (\frac{1}{\cos^{2} x} - \frac{1}{\sin^{2} x}) d x$ .

c) Nguyên hàm của hàm số mũ

HĐ7.

Khám phá nguyên hàm của hàm số mũ
a) Tính đạo hàm của các hàm số sau và nêu kết quả tương ứng vào bảng dưới đây.
\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
F(x) & e^x & \frac{a^x}{\ln a} (0 < a \ne 1) \\
\hline
F'(x) & ? & ? \\
\hline
\end{array}
b) Sử dụng kết quả ở câu a, tìm nguyên hàm của các hàm số cho trong bảng dưới đây.
\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
f(x) & e^x & a^x (0 < a \ne 1) \\
\hline
\int f(x)dx & ? & ? \\
\hline
\end{array}
Từ kết quả của HĐ7, ta có

$\int e^{x} d x = e^{x} + C$ .
$\int a^{x} d x = \frac{a^{x}}{\ln a} + C$ ( $0 < a \neq 1$ ).

Ví dụ 8.

Dạng bài: Tính nguyên hàm hàm mũ

Tìm:
a) $\int 2^{x} d x$ ;
b) $\int \frac{1}{3^{x}} d x$ ;
c) $\int (2 e^{x} - 5^{x}) d x$ .

Lời giải

Giải
a) $\int 2^{x} d x = \frac{2^{x}}{\ln 2} + C$ .
b) $\int \frac{1}{3^{x}} d x = \int (\frac{1}{3})^{x} d x = \frac{(\frac{1}{3})^{x}}{\ln (\frac{1}{3})} + C = \frac{3^{- x}}{- \ln 3} + C = - \frac{3^{- x}}{\ln 3} + C$ .
c) $\int (2 e^{x} - 5^{x}) d x = 2 \int e^{x} d x - \int 5^{x} d x = 2 e^{x} - \frac{5^{x}}{\ln 5} + C$ .

Luyện tập 7.

Dạng bài: Tìm nguyên hàm hàm mũ

Tìm:
a) $\int 4^{x} d x$ ;
b) $\int \frac{1}{e^{x}} d x$ ;
c) $\int (2 \cdot 3^{x} - \frac{1}{3} \cdot 7^{x}) d x$ .

Ta tổng kết lại bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp như sau.

$\int 0 d x = C$
$\int 1 d x = x + C$
$\int x^{α} d x = \frac{x^{α + 1}}{α + 1} + C$ ( $α \neq - 1$ )
$\int \frac{1}{x} d x = \ln ∣ x ∣ + C$
$\int e^{x} d x = e^{x} + C$
$\int a^{x} d x = \frac{a^{x}}{\ln a} + C$ ( $0 < a \neq 1$ )
$\int \cos x d x = \sin x + C$
$\int \sin x d x = - \cos x + C$
$\int \frac{1}{\sin^{2} x} d x = - \cot x + C$
$\int \frac{1}{\cos^{2} x} d x = \tan x + C$

Dựa vào bảng nguyên hàm của các hàm số thường gặp và tính chất cơ bản của nguyên
hàm, ta có thể tìm được nguyên hàm của nhiều hàm số khác.

Bài tập

4.1.

Dạng bài: Kiểm tra nguyên hàm

Trong mỗi trường hợp sau, hàm số $F (x)$ có là một nguyên hàm của hàm số $f (x)$ trên
khoảng tương ứng không? Vì sao?
a) $F (x) = x \ln x$ và $f (x) = 1 + \ln x$ trên khoảng $(0; + \infty)$ ;
b) $F (x) = e^{\sin x}$ và $f (x) = e^{\cos x}$ trên $R$ .

4.2.

Dạng bài: Tìm nguyên hàm

Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a) $f (x) = 3 x^{2} + 2 x - 1$ ;
b) $f (x) = x^{3} - x$ ;
c) $f (x) = (2 x + 1)^{2}$ ;
d) $f (x) = (2 x - \frac{1}{x})^{2}$ .

4.3.

Dạng bài: Tính nguyên hàm

Tìm:
a) $\int (3 \sqrt{x} + \frac{1}{x^{2}}) d x$ ;
b) $\int \sqrt{x} (7 x^{2} - 3) d x$ ( $x > 0$ );
c) $\int \frac{(2 x + 1)^{2}}{x^{2}} d x$ ;
d) $\int (2^{x} + \frac{3}{x^{2}}) d x$ .

4.4.

Dạng bài: Tính nguyên hàm

Tìm:
a) $\int (2 \cos x - \frac{3}{\sin^{2} x}) d x$ ;
b) $\int 4 \sin^{2} x d x$ ;
c) $\int (\sin \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{2})^{2} d x$ ;
d) $\int (x + \tan^{2} x) d x$ .

4.5.

Dạng bài: Tìm hàm số từ đạo hàm và điều kiện

Cho hàm số $y = f (x)$ xác định trên khoảng $(0; + \infty)$ . Biết rằng, $f^{'} (x) = 2 x + \frac{1}{x^{2}}$ với mọi
$x \in (0; + \infty)$ và $f (1) = 1$ . Tính giá trị $f (4)$ .

4.6.

Dạng bài: Tìm hàm số từ đạo hàm và điều kiện

Cho hàm số $y = f (x)$ có đồ thị là $(C)$ . Xét điểm $M (x; f (x))$ thay đổi trên $(C)$ . Biết rằng,
hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị $(C)$ tại $M$ là $k_{M} = (x - 1)^{2}$ và điểm $M$ trùng với gốc
toạ độ khi nó nằm trên trục tung. Tìm biểu thức $f (x)$ .

4.7.

Dạng bài: Giải bài toán vật lí bằng nguyên hàm

Một viên đạn được bắn thẳng đứng lên trên từ mặt đất. Giả sử tại thời điểm $t$ giây
(coi $t = 0$ là thời điểm viên đạn được bắn lên), vận tốc của nó được cho bởi
$v (t) = 160 - 9, 8 t$ (m/s). Tìm độ cao của viên đạn (tính từ mặt đất):
a) Sau $t = 5$ giây;
b) Khi nó đạt độ cao lớn nhất (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).

Xem bản PDF nguyên trang sách: Toán 12 tập 2 – Kết nối tri thức với cuộc sống (trang 6–13).