Bài tập cuối chương V

5.31

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): $x-2y-3z+1=0$. Một vectơ pháp tuyến
của mặt phẳng (P) có toạ độ là
Α. (1; 2; 3).
B. $(1;-2;3)$
C. $(1;2;-3)$.
D. ( $(1;-2;-3)\mathrm{.}$

5.32

Trong không gian Oxyz, phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm $I(1;-1;2)$ và nhận
vectơ $\vec{n}=(2;1;-1)$ làm một vectơ pháp tuyến là
A. $x-y+2z+1=0$
B. $x-y+2z-6=0$.
C. $2x+y-z-1=0$
D. $2x+y-z+1=0$

5.33

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d : $\frac{x-1}{2}=\frac{y+2}{1}=\frac{z-3}{-2}\mathrm{.}$ Một vectơ chỉ phương
của đường thẳng d có toạ độ là
Α. $(1;-2;3)$.
Β. (2; 1; -2).
C. $(2;1;2)$
D. (1; 2; 3).

5.34

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d:
$\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=-2+t\\ z=3-t\mathrm{.}\end{array}$
Một vectơ chỉ phương của
đường thẳng d có toạ độ là
Α. $(1;-2;3)$
В. (2; 0; 0).
C. $(2;1;-1)$.
D. (2; 1; 1).

5.35

Trong không gian Oxyz, phương trình đường thẳng d đi qua $I(2;-1;1)$ và nhận vectơ
$\vec{u}=(1;2;-3)$ làm một vectơ chỉ phương là
A.
$\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z+3}{1}\mathrm{.}$
B. $\frac{x-2}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-1}{-3}\mathrm{.}$
C.
$\frac{x-2}{1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-1}{-3}\mathrm{.}$
D. $\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{1}=\frac{z+3}{1}$

5.36

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $A(-1;0;-1)$, $B(2;1;1)$. Phương trình đường
thẳng AB là
A.
$\{\begin{array}{l}x=1+3t\\ y=t\\ z=1+2t\mathrm{.}\end{array}$
B.
$\{\begin{array}{l}x=-1+t\\ y=t\\ z=-1+2t\mathrm{.}\end{array}$
C.
$\{\begin{array}{l}x=2+t\\ y=1+t\\ z=1+2t\mathrm{.}\end{array}$
D. $\{\begin{array}{l}x=-1+3t\\ y=t\\ z=-1+2t\mathrm{.}\end{array}$

5.37

Trong không gian Oxyz, phương trình đường thẳng d đi qua $I(2;1;-3)$ và vuông góc
với mặt phẳng $(P):x-2y+z-3=0$ là
A. $\frac{x-2}{1}=\frac{y-1}{-2}=\frac{z+3}{1}\mathrm{.}$
B.
$\frac{x-2}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-3}{1}\mathrm{.}$
C. $\frac{x-2}{1}=\frac{y-1}{-2}=\frac{z-3}{1}\mathrm{.}$
D. $\frac{x-2}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z+3}{1}\mathrm{.}$

5.38

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $(S):(x+1{)}^2+y^2+(z-3{)}^2=4$ Toạ độ tâm I
và
bán kính R của (S) lần lượt là
A. $I(1;0;3)$, $R=4$.
B. $I(1;0;3),$ $R=2.$
C. $I(-1;0;3)$ $R=2$.
D. $I(-1;0;3)$ $R=4$.

5.39

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ( $S):x^2+y^2+z^2-2x+4y+2z-3=0$ Toạ độ
tâm I và bán kính R của mặt cầu (S) lần lượt là
A. $I(1;-2;-1)$ R = 3.
B. $I(1;2;1)$ $R=9$.
C. $I(1;2;1)$ $R=3$
D. $I(1;-2;-1)$, $R=9$.

5.40

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm $A(1;0;-1)$ $B(0;1;2)$, $C(-1;-2;3)$.
a) Viết phương trình mặt phẳng (ABC).
b) Viết phương trình đường thẳng AC.
c) Viết phương trình mặt cầu đường kính AC.
d) Viết phương trình mặt cầu có tâm A và đi qua B.

5.41

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng
$d:\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=-2+t\\ z=4-2t\mathrm{.}\end{array}$
Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và gốc toạ độ O.

5.42

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $(P):x-2y+2z-1=0$ và hai điểm $A(1;-1;2)$,
$B(-1;1;0)$.
a) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (P).
b) Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua A và song song với mặt phẳng (P).
c) Viết phương trình mặt phẳng (R) chứa A, B và vuông góc với mặt phẳng (P).

5.43

Trong không gian Oxyz, cho điểm
$A(1;0;2)$ và hai đường thẳng
$d:\frac{x}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z}{2},$
$d^{\mathrm{\prime }}:\frac{x+1}{2}=\frac{y+2}{2}=\frac{z-3}{-1}\mathrm{.}$
a) Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng d và d'.
b) Viết phương trình đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ đi qua A và song song với đường thẳng d.
c) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa A và d.
d) Tìm giao điểm của đường thẳng d với mặt phẳng (Oxz).

5.44

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $(P):x-2y-2z-3=0$ và đường thẳng
$d:\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z}{-1}\mathrm{.}$ Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa d và vuông góc với
mặt phẳng (P).

5.45

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng:
$d:\frac{x+1}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z}{-1}$ và $d^{\mathrm{\prime }}:\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z+1}{2}\mathrm{.}$
Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và song song với đường thẳng d'.

5.46

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): $x-y-z-1=0,$ (Q): $2x+y-z-2=0$
và điểm $A(-1;2;0)$. Viết phương trình mặt phẳng (R) đi qua điểm A đồng thời vuông
góc với cả hai mặt phẳng (P) và (Q).

5.47

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d $t:\frac{x+2}{1}=\frac{y+3}{2}=\frac{z-3}{-2}$ và
$d^{\mathrm{\prime }}:\{\begin{array}{l}x=1-t\\ y=-2+t\\ z=2t\mathrm{.}\end{array}$
a) Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng d và $d^{\mathrm{\prime }}\mathrm{.}$
b) Tính góc giữa d và d'.

5.48

Trong không gian Oxyz, tính góc tạo bởi đường thẳng $d:\frac{x+3}{2}=\frac{y-2}{-2}=\frac{z+1}{1}$ và mặt
phẳng $(P):x+y-2z+3=0$.

5.49

Trong không gian Oxyz, tính góc giữa mặt phẳng (P): $x+y+z-1=0$ và mặt phẳng
Oxy.

5.50

Từ mặt nước trong một bể nước, tại ba vị trí đôi một cách nhau 2 m, người ta lần lượt
thả dây dọi để quả dọi chạm đáy bể. Phần dây dọi (thẳng) nằm trong nước tại ba vị trí
đó lần lượt có độ dài 4 m; 4,4 m; 4,8 m. Biết đáy bể là phẳng. Hỏi đáy bể nghiêng so
với mặt phẳng nằm ngang một góc bao nhiêu độ?

5.51

Bản vẽ thiết kế của một công trình được vẽ trong một hệ trục toạ độ Oxyz. Sàn nhà
của công trình thuộc mặt phẳng Oxy, đường ống thoát nước thẳng và đi qua hai điểm
$A(1;2;-1)$ và $B(5;6;-2)$. Tính góc tạo bởi đường ống thoát nước và mặt sàn.

5.52

Nếu đứng trước biển và nhìn ra xa, người ta sẽ thấy một đường giao giữa mặt biển
và bầu trời, đó là đường chân trời đối với người quan sát (H.5.45a). Về mặt Vật lí,
đường chân trời là đường giới hạn phần Trái Đất mà người quan sát có thể nhìn thấy
được (phần còn lại bị chính Trái Đất che khuất). Ta có thể hình dung rằng, nếu người
quan sát ở tại đỉnh của một chiếc nón và Trái Đất được “thả” vào trong chiếc nón đó,
thì đường chân trời trong trường hợp này là đường chạm giữa Trái Đất và chiếc nón
(H.5.45b). Trong mô hình toán học, đường chân trời đối với người quan sát tại vị trí B
là tập hợp những điểm A nằm trên bề mặt Trái Đất sao cho $\widehat{BAO}={90}^{\circ }$, với O là tâm
Trái Đất (H.5.45c). Trong không gian Oxyz, giả sử bề mặt Trái Đất (S) có phương trình
$x^2+y^2+z^2=1$ và người quan sát ở vị trí $B(1;1;-1)$.
Gọi A là một vị trí bất kì trên đường chân trời đối với người quan sát ở vị trí B. Tính
khoảng cách AB.

Hình/bảng: Hình 5.45: Ba hình minh họa đường chân trời. a) Đường chân trời trên biển. b) Đường chân trời khi Trái Đất nằm trong một hình nón. c) Mô hình toán học với điểm B là vị trí quan sát, O là tâm Trái Đất, và A là điểm trên đường chân trời, tạo thành góc vuông tại A với bán kính OA.