Bài tập cuối chương IV – Toán 12 tập 2 Kết nối tri thức

A – trắc nghiệm

4.20. Một nguyên hàm của hàm số $f(x)=sin~2x$ là

Dạng bài: Tìm nguyên hàm

4.20. Một nguyên hàm của hàm số $f (x) = \sin 2 x$ là
A. $F (x) = 2 \cos 2 x .$
B. $F (x) = - \cos 2 x$
C.
$F (x) = \frac{1}{2} \cos 2 x .$
D. $F (x) = \frac{- 1}{2} \cos 2 x .$

4.21. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số 2ex là

Dạng bài: Tìm nguyên hàm

4.21. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số 2ex là
A. $2 x e^{x} + C$
B. $- 2 e^{x} + C$
C. $2 e^{x}$ .
D. $2 e^{x} + C .$

4.22. Nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x)=e^{x}-3e^{-x}$ A. $F(x)=e^{x}-3e^{-x}$ C. $F(x)=e^{x}+3e^{-x}$.

Dạng bài: Tìm nguyên hàm thỏa điều kiện

4.22. Nguyên hàm $F (x)$ của hàm số $f (x) = e^{x} - 3 e^{- x}$ thoả mãn $F (0) = 4$ là
A. $F (x) = e^{x} - 3 e^{- x}$
B. $F (x) = e^{x} + 3 e^{- 2 x}$ .
C. $F (x) = e^{x} + 3 e^{- x}$ .
D.
$F (x) = e^{x} + 3 e^{- x} + 4.$

4.23. Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm $f^{\prime}(x)$ liên tục trên R, Khi đó giá trị của $f(3)$ bằng

Dạng bài: Sử dụng định nghĩa tích phân

4.23. Cho hàm số $f (x)$ có đạo hàm $f^{'} (x)$ liên tục trên R, $f (1) = 16 v \dot{a} \int_{1}^{3} f^{'} (x) d x = 4.$ Khi đó giá
trị của $f (3)$ bằng
A. 20.
B. 16.
C. 12.
D. 10.

4.24. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=x^{2}-2x,$ $y=-x^{2}+4x$ và hai đường thẳng $x=0$, $x=3$ là

Dạng bài: Tính diện tích hình phẳng

4.24. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = x^{2} - 2 x,$ $y = - x^{2} + 4 x$ và hai đường
thẳng $x = 0$ , $x = 3$ là
A.-9.
B. 9.
C.
$\frac{16}{3}$
D. $\frac{20}{3}$

4.25. Cho đồ thị hàm số $y=f(x)$ trên đoạn [-2; 2] như Hình 4.32.

Dạng bài: Tính diện tích hình phẳng từ đồ thị và tích phân

4.25. Cho đồ thị hàm số $y = f (x)$ trên đoạn [-2; 2] như Hình 4.32.

Hình 4.32. Đồ thị hàm số

y = f (x)

trên đoạn [-2; 2].

Biết
$\int_{- 2}^{- 1} f (x) d x = \int_{1}^{2} f (x) d x = \frac{- 22}{15}$
và $\int_{- 1}^{1} f (x) d x = \frac{76}{15} .$ Khi đó, diện tích của hình phẳng
được tô màu là
A. 8.
B. $\frac{22}{15} .$
C. $\frac{32}{15} .$
D. $\frac{76}{15} .$

B – tự luận

4.28. Tìm họ tất cả các nguyên hàm của các hàm số sau:

Dạng bài: Tìm nguyên hàm

4.28. Tìm họ tất cả các nguyên hàm của các hàm số sau:
a)
$y = 2^{x} - \frac{1}{x};$
b) $y = x \sqrt{x} + 3 \cos x - \frac{2}{\sin^{2} x} .$

4.29. Tìm một nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $F(\frac{\pi}{4})=-1.$

Dạng bài: Tìm nguyên hàm thỏa điều kiện

4.29. Tìm một nguyên hàm $F (x)$ của hàm số
$f (x) = 2 \cos x + \frac{1}{\sin^{2} x}$
thoả mãn điều kiện
$F (\frac{π}{4}) = - 1.$

4.30. Một viên đạn được bắn lên từ mặt đất theo phương thẳng đứng với vận tốc ban đầu là $30~m/s$. Gia tốc trọng trường là $9,8~m/s^{2}$. Tìm vận tốc của viên đạn ở thời điểm 2 giây.

Dạng bài: Ứng dụng tích phân trong vật lí

4.30. Một viên đạn được bắn lên từ mặt đất theo phương thẳng đứng với vận tốc ban đầu là
$30 m / s$ . Gia tốc trọng trường là $9, 8 m / s^{2}$ . Tìm vận tốc của viên đạn ở thời điểm 2 giây.

4.31. Cá hồi Thái Bình Dương đến mùa sinh sản thường bơi từ biển ngược dòng vào sông và đến thượng nguồn các dòng sông để đẻ trứng. Giả sử cá bơi ngược dòng sông với vận tốc là $v(t)=-\frac{2t}{5}+4$ (km/h). Nếu coi thời điểm ban đầu $t=0$ là lúc cá bắt đầu bơi vào dòng sông thì khoảng cách xa nhất mà con cá có thể bơi được là bao nhiêu?

Dạng bài: Ứng dụng tích phân trong chuyển động

4.31. Cá hồi Thái Bình Dương đến mùa sinh sản thường bơi từ biển ngược dòng vào sông
và đến thượng nguồn các dòng sông để đẻ trứng. Giả sử cá bơi ngược dòng sông
với vận tốc là $v (t) = - \frac{2 t}{5} + 4$ (km/h). Nếu coi thời điểm ban đầu $t = 0$ là lúc cá bắt đầu
bơi vào dòng sông thì khoảng cách xa nhất mà con cá có thể bơi được là bao nhiêu?

4.32. Tính các tích phân sau:

Dạng bài: Tính tích phân xác định

4.32. Tính các tích phân sau:
a) $\int_{1}^{4} (x^{3} - 2 \sqrt{x}) d x;$ b) $\int_{0}^{\frac{π}{2}} (\cos x - \sin x) d x;$
c)
dx
sin x
d) $\int_{1}^{16} \frac{x - 1}{\sqrt{x}} d x .$

4.33. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=e^{x},$ $y=x$, $x=0$ và $x=1$.

Dạng bài: Tính diện tích hình phẳng

4.33. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = e^{x},$ $y = x$ , $x = 0$ và $x = 1$ .

4.34. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường sau xung quanh trục Ox:

Dạng bài: Tính thể tích khối tròn xoay

4.34. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường
sau xung quanh trục Ox:
a) $y = 1 - x^{2}$ $y = 0,$ $x = - 1,$ x = 1;
b) $y = \sqrt{25 - x^{2}},$ $y = 0,$ $x = 2$ $x = 4.$

4.35. Nghệ thuật làm gốm có lịch sử phát triển lâu đời và vẫn còn tồn tại cho đến ngày nay. Giả sử một bình gốm có mặt trong của bình là một mặt tròn xoay sinh ra khi cho phần đồ thị của hàm số $y=\frac{1}{175}x^{2}+\frac{3}{35}x+5(0\le x\le30)(x,y$ tính theo cm) quay tròn quanh bệ gồm có trục trùng với trục hoành Ox. Hỏi để hoàn thành bình gốm đó ta cần sử dụng bao nhiêu $cm^{3}$ đất sét, biết rằng bình gốm đó có độ dày không đổi là 1 cm.

Dạng bài: Tính thể tích vật thể ứng dụng

4.35. Nghệ thuật làm gốm có lịch sử phát triển lâu đời và vẫn còn tồn tại cho đến ngày nay.
Giả sử một bình gốm có mặt trong của bình là một mặt tròn xoay sinh ra khi cho phần
đồ thị của hàm số $y = \frac{1}{175} x^{2} + \frac{3}{35} x + 5 (0 \leq x \leq 30) (x, y$ tính theo cm) quay tròn quanh
bệ gồm có trục trùng với trục hoành Ox. Hỏi để hoàn thành bình gốm đó ta cần sử dụng
bao nhiêu $c m^{3}$ đất sét, biết rằng bình gốm đó có độ dày không đổi là 1 cm.

Chương V

Phương pháp toạ độ trong không gian

Nối tiếp ý tưởng phương pháp toạ độ trong
mặt phẳng ở lớp 10, trong chương này, thông
qua hệ trục toạ độ, ta sẽ thể hiện mặt phẳng,
đường thẳng, mặt cầu theo ngôn ngữ của
đại số.

Xem bản PDF nguyên trang sách: Toán 12 tập 2 – Kết nối tri thức với cuộc sống (trang 27–29).