Bài tập cuối chương II

Luyện tập 7

Trong Ví dụ 7, khinh khí cầu thứ nhất hay thứ hai ở xa điểm xuất phát hơn? Giải thích vì sao.

2.20

Dạng bài: Vector operations

Trong không gian Oxyz, cho ba vecto $\vec{a}=(3;1;2)$, $\vec{b}=(-3;0;4)$ và $\vec{c}=(6;-1;0)$.
a) Tìm toạ độ của các vectơ $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}$ và $2\vec{a}-3\vec{b}-5\vec{c}$.
b) Tính các tích vô hướng $\vec{a}\cdot (-\vec{b})$ và $(2\vec{a})\cdot \vec{c}$.

2.21

Dạng bài: Vector coordinates, collinearity, parallelogram, perimeter

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm M(-4; 3; 3), N(4; -4; 2) và P(3; 6; -1).
a) Tìm toạ độ của các vectơ $\overrightarrow{MN}$, $\overrightarrow{MP}$, từ đó chứng minh rằng ba điểm M, N, P không thẳng hàng.
b) Tìm toạ độ của vectơ $\overrightarrow{NM}+\overrightarrow{NP}$, từ đó suy ra toạ độ của điểm Q sao cho tứ giác MNPQ là hình bình hành.
c) Tính chu vi của hình bình hành MNPQ.

2.22

Dạng bài: Centroid, angle between vectors, area of triangle

Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có A(1; 0; 1), B(0; -3; 1) và C(4; -1; 4).
a) Tìm toạ độ trọng tâm của tam giác ABC.
b) Chứng minh rằng $\widehat{BAC}={90}^{\circ }$.
c) Tính diện tích tam giác ABC.

2.23

Dạng bài: Coordinates in 3D space

Một phòng học có thiết kế dạng hình hộp chữ nhật với chiều dài là 8 m, chiều rộng là 6 m và chiều cao là 3 m. Một chiếc đèn được treo tại chính giữa trần nhà của phòng học. Xét hệ trục toạ độ Oxyz có gốc O trùng với một góc phòng và mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt sàn, đơn vị đo được lấy theo mét (H.2.51). Hãy tìm toạ độ của điểm treo đèn.

Hình/bảng: Hình 2.51: Một căn phòng hình hộp chữ nhật với kích thước 8m x 6m x 3m. Hệ trục tọa độ Oxyz có gốc ở một góc phòng, Oxy là mặt sàn.

2.24

Dạng bài: Distance in 3D space

Trong không gian, xét hệ toạ độ Oxyz có gốc O trùng với vị trí của một giàn khoan trên biển, mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt biển (được coi là phẳng) với trục Ox hướng về phía tây, trục Oy hướng về phía nam và trục Oz hướng thẳng đứng lên trời (H.2.52). Đơn vị đo trong không gian Oxyz lấy theo kilômét. Một chiếc ra đa đặt tại giàn khoan có phạm vi theo dõi là 30 km. Hỏi ra đa có thể phát hiện được một chiếc tàu thám hiểm có toạ độ là (25; 15; -10) đối với hệ toạ độ nói trên hay không? Hãy giải thích vì sao.

Hình/bảng: Hình 2.52: Một giàn khoan trên biển với hệ trục tọa độ Oxyz. Ox hướng Tây, Oy hướng Nam, Oz hướng lên trời.

2.25

Dạng bài: Vector sum, centroid

Cho tứ diện ABCD. Lấy G là trọng tâm của tam giác BCD. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. $\overrightarrow{BG}+\overrightarrow{CG}+\overrightarrow{DG}=\vec{0}$.
B. $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=3\overrightarrow{AG}$.
C. $\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BD}=3\overrightarrow{BG}$.
D. $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\vec{0}$.

2.26

Dạng bài: Vector representation in cuboid

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Lấy M là trung điểm của đoạn thẳng CC'. Vectơ $\overrightarrow{AM}$ bằng
A. $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\mathrm{\prime }}}$.
B. $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{A{A}^{\mathrm{\prime }}}$.
C. $\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{A{A}^{\mathrm{\prime }}}$.
D. $\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\mathrm{\prime }}}$.

2.27

Dạng bài: Vector sum in cuboid

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Khẳng định nào dưới đây là sai?
A. $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{C{C}^{\mathrm{\prime }}}=\overrightarrow{A{B}^{\mathrm{\prime }}}$.
B. $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\mathrm{\prime }}}=\overrightarrow{A{C}^{\mathrm{\prime }}}$.
C. $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{B{B}^{\mathrm{\prime }}}=\overrightarrow{A{D}^{\mathrm{\prime }}}$.
D. $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{C{C}^{\mathrm{\prime }}}=\overrightarrow{A{C}^{\mathrm{\prime }}}$.

2.28

Dạng bài: Dot product in tetrahedron

Cho tứ diện đều ABCD có độ dài cạnh bằng a, gọi M là trung điểm của đoạn thẳng CD. Tích vô hướng $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AM}$ bằng
A. $\frac{a^2}{4}$.
B. $\frac{a^2}{2}$.
C. $\frac{a^2}{3}$.
D. $a^2$.

2.29

Dạng bài: Vector operations

Trong không gian Oxyz, cho $\vec{a}=(1;-2;2)$, $\vec{b}=(-2;0;3)$. Khẳng định nào dưới đây là sai?
A. $\vec{a}+\vec{b}=(-1;-2;5)$.
B. $\vec{a}-\vec{b}=(3;-2;-1)$.
C. $3\vec{a}=(3;-2;2)$.
D. $2\vec{a}+\vec{b}=(0;-4;7)$.

2.30

Dạng bài: Coordinates of parallelogram vertex

Trong không gian Oxyz, cho hình bình hành ABCD có A(-1; 0; 3), B(2; 1; -1) và C(3; 2; 2). Toạ độ của điểm D là
A. (2; -1; 0).
B. (0; -1; -6).
C. (0; 1; 6).
D. (-2; 1; 0).

2.31

Dạng bài: Centroid coordinates

Trong không gian Oxyz, cho A(1; 0; -1), B(0; -1; 2) và G(2; 1; 0). Biết tam giác ABC có trọng tâm là điểm G. Toạ độ của điểm C là
A. (5; 4; -1).
B. (-5; -4; 1).
C. (1; 2; -1).
D. (-1; -2; 1).

2.32

Dạng bài: Dot product

Trong không gian Oxyz, cho $\vec{a}=(2;1;-3)$, $\vec{b}=(-2;-1;2)$. Tích vô hướng $\vec{a}\cdot \vec{b}$ bằng
A. -2.
B. -11.
C. 11.
D. 2.

2.33

Dạng bài: Angle between vectors

Trong không gian Oxyz, cho $\vec{a}=(2;1;-2)$, $\vec{b}=(0;-1;1)$. Góc giữa hai vectơ $\vec{a}$, $\vec{b}$ bằng
A. ${60}^{\circ }$.
B. ${135}^{\circ }$.
C. ${120}^{\circ }$.
D. ${45}^{\circ }$.

2.34

Dạng bài: Cosine of angle between vectors

Trong không gian Oxyz, cho $\vec{a}=(-2;2;2)$, $\vec{b}=(1;-1;-2)$. Côsin của góc giữa hai vectơ $\vec{a}$, $\vec{b}$ bằng
A. $\frac{-2\sqrt{2}}{3}$.
B. $\frac{2\sqrt{2}}{3}$.
C. $\frac{\sqrt{2}}{3}$.
D. $\frac{-\sqrt{2}}{3}$.

2.35

Dạng bài: Vector sum in pyramid

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Chứng minh rằng:
$\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SC}=\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SD}$.

2.36

Dạng bài: Vector representation

Cho tứ diện ABCD, lấy hai điểm M, N thoả mãn $\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MA}=\vec{0}$ và $\overrightarrow{NC}=2\overrightarrow{DN}$.
Hãy biểu diễn $\overrightarrow{MN}$ theo $\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{BC}$.

2.37

Dạng bài: Vector representation, collinearity

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D', gọi G là trọng tâm của tam giác BDA'.
a) Biểu diễn $\overrightarrow{AG}$ theo $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{A{A}^{\mathrm{\prime }}}$.
b) Từ câu a, hãy chứng tỏ ba điểm A, G và C' thẳng hàng.

2.38

Dạng bài: Centroid, orthogonality, point on axis

Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(2; -1; 3), B(1; 1; -1) và C(-1; 0; 2).
a) Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC.
b) Tìm toạ độ điểm M thuộc trục Oz sao cho đường thẳng BM vuông góc với đường thẳng AC.

2.39

Dạng bài: Coordinates of cuboid vertices

Trong không gian Oxyz, cho hình hộp OABC.O'A'B'C' và các điểm A(2; 3; 1), C(-1; 2; 3) và O'(1; -2; 2). Tìm toạ độ các đỉnh còn lại của hình hộp.

2.40

Dạng bài: Vector operations, magnitude, angle between vectors

Trong không gian Oxyz, cho hai vecto $\vec{a}=(-2;1;2)$, $\vec{b}=(1;1;-1)$.
a) Xác định toạ độ của vectơ $\vec{u}=\vec{a}-2\vec{b}$.
b) Tính độ dài vectơ $\vec{u}$.
c) Tính $\cos (\vec{a},\vec{b})$.

2.41

Dạng bài: Vector coordinates, magnitude, vector sum, collinearity, point on plane

Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(4; 2; -1), B(1; -1; 2) và C(0; -2; 3).
a) Tìm toạ độ của vectơ $\overrightarrow{AB}$ và tính độ dài đoạn thẳng AB.
b) Tìm toạ độ điểm M sao cho $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CM}=\vec{0}$.
c) Tìm toạ độ điểm N thuộc mặt phẳng (Oxy), sao cho A, B, N thẳng hàng.

2.42

Dạng bài: Coordinates in 3D space, distance

Hình 2.53 minh hoạ một chiếc đèn được treo cách trần nhà là 0,5 m, cách hai tường lần lượt là 1,2 m và 1,6 m. Hai bức tường vuông góc với nhau và cùng vuông góc với trần nhà. Người ta di chuyển chiếc đèn đó đến vị trí mới cách trần nhà là 0,4 m, cách hai tường đều là 1,5 m.
a) Lập một hệ trục toạ độ Oxyz phù hợp và xác định toạ độ của bóng đèn lúc đầu và sau khi di chuyển.
b) Vị trí mới của bóng đèn cách vị trí ban đầu là bao nhiêu mét? (Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).

Hình/bảng: Hình 2.53: Một chiếc đèn treo trong góc phòng, minh họa các khoảng cách đến trần và tường.