Bài 5. Ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn

THUẬT NGỮ\n• Tốc độ thay đổi tức thời\n• Bài toán tối ưu hoá\nKIẾN THỨC, KĨ NĂNG\nVận dụng đạo hàm và khảo sát hàm số để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn.

Một đội bóng đá thi đấu trong một sân vận động có sức chứa 55 000 khán giả. Với giá mỗi vé là 100 nghìn đồng, số khán giả trung bình là 27 000 người. Qua thăm dò dư luận, người ta thấy rằng mỗi khi giá vé giảm thêm 10 nghìn đồng, sẽ có thêm khoảng 3 000 khán giả. Hỏi ban tổ chức nên đặt giá vé là bao nhiêu để doanh thu từ tiền bán vé là lớn nhất?

Giả sử $y$ là một hàm số của $x$ và ta viết $y=f(x)$. Nếu $x$ thay đổi từ $x_1$ đến $x_2$, thì sự thay đổi của $x$ là\n$\mathrm{\Delta }x=x_2-x_1$,\nvà sự thay đổi tương ứng của $y$ là\n$\mathrm{\Delta }y=f(x_2)-f(x_1)$.

Như vậy, đạo hàm $f^{\mathrm{\prime }}(a)$ là tốc độ thay đổi tức thời của đại lượng $y=f(x)$ đối với $x$ tại điểm $x=a$. Dưới đây, chúng ta xem xét một số ứng dụng của ý tưởng này đối với vật lí, hoá học, sinh học và kinh tế:

• Nếu $s=s(t)$ là hàm vị trí của một vật chuyển động trên một đường thẳng thì $v=s^{\mathrm{\prime }}(t)$ biểu thị vận tốc tức thời của vật (tốc độ thay đổi của độ dịch chuyển theo thời gian). Tốc độ thay đổi tức thời của vận tốc theo thời gian là gia tốc tức thời của vật:\n$a(t)=v^{\mathrm{\prime }}(t)=s^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(t)$.

• Nếu $C=C(t)$ là nồng độ của một chất tham gia phản ứng hoá học tại thời điểm $t$, thì $C^{\mathrm{\prime }}(t)$ là tốc độ phản ứng tức thời (tức là độ thay đổi nồng độ) của chất đó tại thời điểm $t$.

• Nếu $P=P(t)$ là số lượng cá thể trong một quần thể động vật hoặc thực vật tại thời điểm $t$, thì $P^{\mathrm{\prime }}(t)$ biểu thị tốc độ tăng trưởng tức thời của quần thể tại thời điểm $t$.

• Nếu $C=C(x)$ là hàm chi phí, tức là tổng chi phí khi sản xuất $x$ đơn vị hàng hoá, thì tốc độ thay đổi tức thời $C^{\mathrm{\prime }}(x)$ của chi phí đối với số lượng đơn vị hàng được sản xuất được gọi là chi phí biên.

• Về ý nghĩa kinh tế, chi phí biên $C^{\mathrm{\prime }}(x)$ xấp xỉ với chi phí để sản xuất thêm một đơn vị hàng hoá tiếp theo, tức là đơn vị hàng hoá thứ $x+1$ (xem SGK Toán 11 tập hai, trang 87, bộ sách Kết nối tri thức với cuộc sống).

a) Theo ý nghĩa cơ học của đạo hàm, vận tốc của vật là $v=h^{\mathrm{\prime }}(t)=24,5-9,8t$ (m/s).\nDo đó, vận tốc của vật sau 2 giây là $v(2)=24,5-9,8\cdot 2=4,9$ (m/s).

b) Vì $h(t)$ là hàm số bậc hai có hệ số $a=-4,9<0$ nên $h(t)$ đạt giá trị lớn nhất tại $t=-\frac{b}{2a}=-\frac{24,5}{2\cdot (-4,9)}=2,5$ (giây). Khi đó, độ cao lớn nhất của vật là $h(2,5)=32,625$ (m).

c) Vật chạm đất khi độ cao bằng 0, tức là $h=2+24,5t-4,9t^2=0$, hay $t\approx 5,08$ (giây).\nVận tốc của vật lúc chạm đất là $v(5,08)=24,5-9,8\cdot 5,08=-25,284$ (m/s).\nVận tốc âm chứng tỏ chiều chuyển động của vật là ngược chiều dương (hướng lên trên) của trục đã chọn (khi lập phương trình chuyển động của vật).

Ta có: $P^{\mathrm{\prime }}(t)=\frac{0,75a{e}^{-0,75t}}{(b+e^{-0,75t}{)}^2}$, $t\ge 0$.

Theo đề bài, ta có: $P(0)=20$ và $P^{\mathrm{\prime }}(0)=12$. Do đó, ta có hệ phương trình:\n$\{\begin{array}{l}\frac{a}{b+1}=20\\ \frac{0,75a}{(b+1{)}^2}=12\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=20(b+1)\\ \frac{15}{b+1}=12\end{array}$

Giải hệ phương trình này, ta được $a=25$ và $b=\frac{1}{4}$.

Khi đó, $P^{\mathrm{\prime }}(t)=\frac{18,75e^{-0,75t}}{(\frac{1}{4}+e^{-0,75t}{)}^2}>0$, $\mathrm{\forall }t\ge 0$, tức là số lượng quần thể nấm men luôn tăng.

Tuy nhiên, do ${\lim }_{t\to +\mathrm{\infty }}P(t)={\lim }_{t\to +\mathrm{\infty }}\frac{25}{\frac{1}{4}+e^{-0,75t}}=100$ nên số lượng quần thể nấm men tăng nhưng không vượt quá 100 tế bào.

a) Hàm chi phí biên là $C^{\mathrm{\prime }}(x)=300-5x+0,375x^2$.

b) Ta có: $C^{\mathrm{\prime }}(200)=300-5\cdot 200+0,375\cdot {200}^2=14300$.\nChi phí biên tại $x=200$ là 14 300 nghìn đồng, nghĩa là chi phí để sản xuất thêm một đơn vị hàng hoá tiếp theo (đơn vị hàng hoá thứ 201) là khoảng 14 300 nghìn đồng.

c) Chi phí sản xuất đơn vị hàng hoá thứ 201 là\n$C(201)-C(200)=1004372,625-990000=14372,625$ (nghìn đồng).\nGiá trị này xấp xỉ với chi phí biên $C^{\mathrm{\prime }}(200)$ đã tính ở câu b.

Xét hàm số $y=C(x)=\frac{300x}{100-x}$, $0\le x<100$.

Ta có:\n$y^{\mathrm{\prime }}=\frac{300\cdot 100}{(100-x{)}^2}=\frac{30000}{(100-x{)}^2}>0$, với mọi $x\in [0;100)$.

Do đó hàm số luôn đồng biến trên nửa khoảng $[0;100)$.

${\lim }_{x\to {100}^{-}}C(x)={\lim }_{x\to {100}^{-}}\frac{300x}{100-x}=+\mathrm{\infty }$, nên đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là $x=100$.

x | 0 | | 100\nC'(x) | | + | \nC(x) | 0 | | $+\mathrm{\infty }$

Đồ thị hàm số như Hình 1.34.

a) Chi phí cần bỏ ra $C(x)$ sẽ luôn tăng khi $x$ tăng.

b) Vì ${\lim }_{x\to {100}^{-}}C(x)=+\mathrm{\infty }$ (hàm số $C(x)$ không xác định khi $x=100$) nên nhà máy không thể loại bỏ 100% chất gây ô nhiễm không khí (dù bỏ ra chi phí là bao nhiêu đi chăng nữa).

Một trong những ứng dụng phổ biến nhất của đạo hàm là cung cấp một phương pháp tổng quát, hiệu quả để giải những bài toán tối ưu hoá. Trong mục này, chúng ta sẽ giải quyết những vấn đề thường gặp như tối đa hoá diện tích, khối lượng, lợi nhuận, cũng như tối thiểu hoá khoảng cách, thời gian, chi phí.

Khi giải những bài toán như vậy, khó khăn lớn nhất thường là việc chuyển đổi bài toán thực tế cho bằng lời thành bài toán tối ưu hoá toán học bằng cách thiết lập một hàm số phù hợp mà ta cần tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của nó, trên miền biến thiên phù hợp của biến số.

Quy trình giải một bài toán tối ưu hoá:

Bước 1. Xác định đại lượng $Q$ mà ta cần làm cho giá trị của đại lượng ấy lớn nhất hoặc nhỏ nhất và biểu diễn nó qua các đại lượng khác trong bài toán.

Bước 2. Chọn một đại lượng thích hợp nào đó, kí hiệu là $x$, và biểu diễn các đại lượng khác ở Bước 1 theo $x$. Khi đó, đại lượng $Q$ sẽ là hàm số của một biến $x$. Tìm tập xác định của hàm số $Q=Q(x)$.

Bước 3. Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của hàm số $Q=Q(x)$ bằng các phương pháp đã biết và kết luận.

Đổi 1 lít = 1 000 cm${}^3$.

Gọi $r$ (cm) là bán kính đáy của hình trụ, $h$ (cm) là chiều cao của hình trụ.

Diện tích toàn phần của hình trụ là: $S=2\pi r^2+2\pi rh$.

Do thể tích của hình trụ là 1 000 cm${}^3$ nên ta có: $1000=V=\pi r^{2}h$, hay $h=\frac{1000}{\pi r^2}$.

Do đó, diện tích toàn phần của hình trụ là: $S=2\pi r^2+\frac{2\cdot 1000}{r}=2\pi r^2+\frac{2000}{r}$, $r>0$.

Ta cần tìm $r$ sao cho $S$ đạt giá trị nhỏ nhất. Ta có:\n$S^{\mathrm{\prime }}=4\pi r-\frac{2000}{r^2}=\frac{4\pi r^3-2000}{r^2}$; $S^{\mathrm{\prime }}=0\iff 4\pi r^3=2000\iff r^3=\frac{500}{\pi }\iff r=\sqrt[3]{\frac{500}{\pi }}$.

r | 0 | | $\sqrt[3]{\frac{500}{\pi }}$ | | $+\mathrm{\infty }$\nS'(r) | | - | 0 | + | \nS(r) | $+\mathrm{\infty }$ | | $\sqrt[3]{500\pi }$ | | $+\mathrm{\infty }$

Khi đó: $h=\frac{1000}{\pi r^2}=\frac{1000}{\pi (\sqrt[3]{\frac{500}{\pi }}{)}^2}=\frac{1000}{\pi \frac{500}{{\pi }^{2\mathrm{/}3}}}=\frac{2}{{\pi }^{1\mathrm{/}3}}=\frac{2}{\sqrt[3]{\pi }}$.

Vậy cần sản xuất các hộp đựng hình trụ có bán kính đáy $r=\sqrt[3]{\frac{500}{\pi }}\approx 5,42$ (cm) và chiều cao $h=\frac{1000}{\pi r^2}=\frac{1000}{\pi (\sqrt[3]{\frac{500}{\pi }}{)}^2}=\frac{1000}{\pi \frac{500}{{\pi }^{2\mathrm{/}3}}}=\frac{2}{{\pi }^{1\mathrm{/}3}}\approx 10,84$ (cm).

Nhắc lại rằng nếu $C(x)$ là hàm chi phí, tức là chi phí sản xuất $x$ đơn vị của một sản phẩm nào đó, thì chi phí biên là tốc độ thay đổi của $C$ đối với $x$, tức là đạo hàm $C^{\mathrm{\prime }}(x)$.

Gọi $p(x)$ là giá bán mỗi đơn vị mà công ty có thể tính nếu bán $x$ đơn vị. Khi đó, $p$ được gọi là hàm cầu (hay hàm giá) và chúng ta mong đợi đó là một hàm giảm của $x$. Nếu $x$ đơn vị được bán và giá mỗi đơn vị là $p(x)$ thì tổng doanh thu là\n$R(x)=x\cdot p(x)$

và $R(x)$ được gọi là hàm doanh thu. Đạo hàm $R^{\mathrm{\prime }}(x)$ của hàm doanh thu được gọi là hàm doanh thu biên và là tốc độ thay đổi của doanh thu đối với số lượng đơn vị sản phẩm bán ra.

Nếu $x$ đơn vị được bán, thì tổng lợi nhuận là\n$P(x)=R(x)-C(x)$

và $P(x)$ được gọi là hàm lợi nhuận. Hàm lợi nhuận biên là đạo hàm $P^{\mathrm{\prime }}(x)$ của hàm lợi nhuận.

Gọi $p$ (nghìn đồng) là giá của mỗi vé; $x$ là số khán giả mua vé. Ta cần xác định hàm cầu $p=p(x)$. Theo giả thiết, tốc độ thay đổi của $x$ tỉ lệ với tốc độ thay đổi của $p$ nên hàm số $p=p(x)$ là hàm số bậc nhất.

Giá vé $p_1=100$ ứng với $x_1=27000$ và giá vé $p_2=90$ ứng với $x_2=27000+3000=30000$. Do đó, phương trình đường thẳng $p=ax+b$ đi qua hai điểm $(27000;100)$ và $(30000;90)$ là $p-100=\frac{100-90}{27000-30000}(x-27000)$, hay $p-100=-\frac{1}{300}(x-27000)$, tức là $x=-300p+57000$.

Hàm doanh thu từ tiền bán vé là\n$R(p)=px=p(-300p+57000)=-300p^2+57000p$.

Ta cần tìm $p$ sao cho $R$ đạt giá trị lớn nhất. Ta có:\n$R^{\mathrm{\prime }}(p)=-600p+57000$; $R^{\mathrm{\prime }}(p)=0\iff p=95$.

p | 0 | | 95 | | $+\mathrm{\infty }$\nR'(p) | | + | 0 | - | \nR(p) | 0 | | 2 707 500 | | $-\mathrm{\infty }$

Vậy với giá vé là 95 nghìn đồng một vé thì doanh thu bán vé là lớn nhất.

Xét hàm số $y=P(x)=-0,3x^3+36x^2+1800x-48000$, $x\ge 0$.

Ta có:\n$y^{\mathrm{\prime }}=P^{\mathrm{\prime }}(x)=-0,9x^2+72x+1800$; $y^{\mathrm{\prime }}=0\iff x=100$ (vì $x\ge 0$).\n$P^{\mathrm{\prime }}(x)>0$ với mọi $x\in [0;100)$, $P^{\mathrm{\prime }}(x)<0$ với mọi $x\in (100;+\mathrm{\infty })$.\nDo đó hàm số đồng biến trên nửa khoảng $[0;100)$ và nghịch biến trên khoảng $(100;+\mathrm{\infty })$.

Tại $x=100$, hàm số đạt cực đại và $y_{C\text{Đ}}=y(100)=192000$.

• ${\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}P(x)=-\mathrm{\infty }$.

x | 0 | | 100 | | $+\mathrm{\infty }$\nP'(x) | | + | 0 | - | \nP(x) | -48 000 | | 192 000 | | $-\mathrm{\infty }$

Đồ thị hàm số như Hình 1.36 (ở đây ta lấy một đơn vị trên trục hoành bằng 1 000 đơn vị trên trục tung).

Từ đồ thị đã vẽ suy ra:

a) Đồ thị xuất phát từ điểm $(0;-48000)$, ở phía dưới trục hoành (tức là công ty đang bị lỗ), và giao với trục hoành tại điểm đầu tiên có hoành độ $x=20$. Do đó, hằng tháng công ty cần sản xuất ít nhất 20 chiếc máy xay sinh tố để hoà vốn.

b) Từ đồ thị ta thấy khi sản xuất hơn 100 chiếc máy xay sinh tố mỗi tháng thì càng sản xuất nhiều lợi nhuận càng giảm. Do đó, công ty không nên sản xuất 200 chiếc máy xay sinh tố hằng tháng.

Lợi nhuận lớn nhất mà công ty có thể thu được là $y_{C\text{Đ}}=y(100)=192000$ (nghìn đồng), tức là 192 triệu đồng, đạt được khi sản xuất đúng 100 chiếc máy xay sinh tố mỗi tháng.