Bài 8. Biểu thức toạ độ của các phép toán…

Yêu cầu cần đạt

Nhận biết biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ trong không gian, thể hiện các phép toán vectơ theo toạ độ, xác định độ dài của một vectơ khi biết toạ độ hai đầu mút.
Vận dụng biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ để giải một số bài toán có liên quan đến thực tiễn.

Những căn nhà gỗ trong Hình 2.47a được phác thảo dưới dạng một hình lăng trụ đứng tam giác OAB.O'A'B' như trong Hình 2.47b. Với hệ trục toạ độ Oxyz thể hiện như Hình 2.47b (đơn vị đo lấy theo centimét), hai điểm A' và B' có toạ độ lần lượt là (240; 450; 0) và (120; 450; 300). Từ những thông tin trên, có thể tính được kích thước mỗi chiều của những căn nhà gỗ hay không?

Biểu thức toạ độ của phép cộng hai vectơ, phép trừ hai vectơ, phép nhân một số với một vectơ

HĐ1

Hình thành biểu thức toạ độ của phép cộng hai vectơ, phép trừ hai vecto, phép nhân một số với một vectơ trong không gian
Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ $\vec{a} = (1; 0; 5)$ và $\vec{b} = (1; 3; 9)$ .
a) Biểu diễn hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ qua các vectơ đơn vị $\vec{i}$ , $\vec{j}$ , $\vec{k}$ .
b) Biểu diễn hai vectơ $\vec{a} + \vec{b}$ và $2 \vec{a}$ qua các vectơ đơn vị $\vec{i}$ , $\vec{j}$ , $\vec{k}$ , từ đó xác định toạ độ của hai vecto đó.

Trong không gian Oxyz, cho hai vecto $\vec{a} = (x; y; z)$ và $\vec{b} = (x^{'}; y^{'}; z^{'})$ . Ta có:
$\vec{a} + \vec{b} = (x + x^{'}; y + y^{'}; z + z^{'})$ ;
$\vec{a} - \vec{b} = (x - x^{'}; y - y^{'}; z - z^{'})$ ;
$k \vec{a} = (k x; k y; k z)$ với k là một số thực.

Nếu toạ độ của vectơ $\vec{a}$ là (x; y, z) thì toạ độ của vectơ đối của $\vec{a}$ là gì?

Nhận xét

Vectơ $\vec{a} = (x; y; z)$ cùng phương với vectơ $\vec{b} = (x^{'}; y^{'}; z^{'}) \neq \vec{0}$ khi và chỉ khi tồn tại số thực k sao cho ${\begin{cases} x = k x^{'} \\ y = k y^{'} \\ z = k z^{'} \end{cases}$ .

Ví dụ 1

Trong không gian Oxyz, cho hai vecto $\vec{a} = (2; 1; 5)$ và $\vec{b} = (2; 2; 1)$ . Tìm toạ độ của mỗi vectơ sau:
a) $\vec{a} - \vec{b}$ ;
b) $3 \vec{a} + 2 \vec{b}$ .

Lời giải

Giải
a) Vì $\vec{a} = (2; 1; 5)$ và $\vec{b} = (2; 2; 1)$ nên $\vec{a} - \vec{b} = (2 - 2; 1 - 2; 5 - 1) = (0; - 1; 4)$ .
b) Ta có $3 \vec{a} = (3.2; 3.1; 3.5) = (6; 3; 15)$ và $2 \vec{b} = (2.2; 2.2; 2.1) = (4; 4; 2)$ .
Do đó $3 \vec{a} + 2 \vec{b} = (6 + 4; 3 + 4; 15 + 2) = (10; 7; 17)$ .

Luyện tập 1

Trong không gian Oxyz, cho ba vectơ $\vec{u} = (1; 8; 6)$ , $\vec{v} = (- 1; 3; - 2)$ và $\vec{w} = (0; 5; 4)$ . Tìm toạ độ của vectơ $\vec{u} - 2 \vec{v} + \vec{w}$ .

HĐ2

Thiết lập toạ độ trung điểm đoạn thẳng, toạ độ trọng tâm tam giác
Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có A( $X_{A}$ ; $Y_{A}$ ; $Z_{A}$ ), B( $X_{B}$ ; $Y_{B}$ ; $Z_{B}$ ) và C( $X_{C}$ ; $Y_{C}$ ; $Z_{C}$ ).
a) Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AB. Tìm toạ độ của M theo toạ độ của A và B.
b) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Tìm toạ độ của G theo toạ độ của A, B và C.

Ta đã biết

$\vec{O M} = \frac{1}{2} (\vec{O A} + \vec{O B})$ ;
$\vec{O G} = \frac{1}{3} (\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C})$ .

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm không thẳng hàng A( $X_{A}$ ; $Y_{A}$ ; $Z_{A}$ ), B( $X_{B}$ ; $Y_{B}$ ; $Z_{B}$ ) và C( $X_{C}$ ; $Y_{C}$ ; $Z_{C}$ ). Khi đó:
Toạ độ trung điểm của đoạn thẳng AB là $(\frac{X_{A} + X_{B}}{2}; \frac{Y_{A} + Y_{B}}{2}; \frac{Z_{A} + Z_{B}}{2})$ .
Toạ độ trọng tâm của tam giác ABC là $(\frac{X_{A} + X_{B} + X_{C}}{3}; \frac{Y_{A} + Y_{B} + Y_{C}}{3}; \frac{Z_{A} + Z_{B} + Z_{C}}{3})$ .

Ví dụ 2

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1; 2; 3), B(3; 2; 1) và C(2; -1; 5). Tìm toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB và toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC.

Lời giải

Giải
Vì M là trung điểm của đoạn thẳng AB nên toạ độ của điểm M là $(\frac{1 + 3}{2}; \frac{2 + 2}{2}; \frac{3 + 1}{2})$ , suy ra M(2; 2; 2).
Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên toạ độ của điểm G là $(\frac{1 + 3 + 2}{3}; \frac{2 + 2 + (- 1)}{3}; \frac{3 + 1 + 5}{3})$ , suy ra G(2; 1; 3).

Luyện tập 2

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(2; 9; -1), B(9; 4; 5) và G(3; 0; 4). Tìm toạ độ điểm C sao cho tam giác ABC nhận G là trọng tâm.

Biểu thức toạ độ của tích vô hướng

HĐ3

Thiết lập biểu thức toạ độ của tích vô hướng trong không gian
Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ $\vec{a} = (x; y; z)$ và $\vec{b} = (x^{'}; y^{'}; z^{'})$ .
a) Giải thích vì sao $\vec{i} \cdot \vec{i} = 1$ và $\vec{i} \cdot \vec{j} = \vec{i} \cdot \vec{k} = 0$ .
b) Sử dụng biểu diễn $\vec{a} = x \vec{i} + y \vec{j} + z \vec{k}$ để tính các tích vô hướng $\vec{a} \cdot \vec{i}$ , $\vec{a} \cdot \vec{j}$ và $\vec{a} \cdot \vec{k}$ .
c) Sử dụng biểu diễn $\vec{b} = x^{'} \vec{i} + y^{'} \vec{j} + z^{'} \vec{k}$ để tính tích vô hướng $\vec{a} \cdot \vec{b}$ .

Trong không gian Oxyz, tích vô hướng của hai vectơ $\vec{a} = (x; y; z)$ và $\vec{b} = (x^{'}; y^{'}; z^{'})$ được xác định bởi công thức:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = x x^{'} + y y^{'} + z z^{'}$ .

Nhận xét

Hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ vuông góc với nhau nếu và chỉ nếu $x x^{'} + y y^{'} + z z^{'} = 0$ .
Nếu $\vec{a} = (x; y; z)$ thì $∣ \vec{a} ∣ = \sqrt{\vec{a} \cdot \vec{a}} = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}$ .
Nếu $\vec{a} = (x; y; z)$ và $\vec{b} = (x^{'}; y^{'}; z^{'})$ là hai vectơ khác $\vec{0}$ thì
$\cos (\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{∣ \vec{a} ∣ ∣ \vec{b} ∣} = \frac{x x^{'} + y y^{'} + z z^{'}}{\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}} \cdot \sqrt{x^{' 2} + y^{' 2} + z^{' 2}}}$ .

Ví dụ 3

Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ $\vec{a} = (1; 4; 2)$ và $\vec{b} = (- 4; 1; 0)$ .
a) Tính $\vec{a} \cdot \vec{b}$ và cho biết hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ có vuông góc với nhau hay không.
b) Tính độ dài của vectơ $\vec{a}$ .

Lời giải

Giải
a) Ta có: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1. (- 4) + 4.1 + 2.0 = 0$ . Do đó, hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ vuông góc với nhau.
b) Độ dài của vectơ $\vec{a}$ là $∣ \vec{a} ∣ = \sqrt{1^{2} + 4^{2} + 2^{2}} = \sqrt{21}$ .

Luyện tập 3

Trong Ví dụ 3, tính $(\vec{a} + \vec{b})^{2}$ .

Ví dụ 4

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Giả sử SA = 2, AB = 3, AD = 4. Xét hệ toạ độ Oxyz với O trùng A và các tia Ox, Oy, Oz lần lượt trùng với các tia AB, AD, AS (H.2.48).
a) Xác định toạ độ của các điểm S, A, B, C, D.
b) Tính BD và SC.
c) Tính $(\vec{B D}, \vec{S C})$ .

Hình/bảng: Hình 2.48: Hình chóp S.ABCD với đáy là hình chữ nhật ABCD, SA vuông góc với đáy. Hệ trục tọa độ Oxyz có gốc A, Ox trùng AB, Oy trùng AD, Oz trùng AS.

Lời giải

Giải
a) Vì A trùng gốc toạ độ nên A(0; 0; 0). Vì B thuộc tia Ox và AB = 3 nên B(3; 0; 0). Vì D thuộc tia Oy và AD = 4 nên D(0; 4; 0). Vì S thuộc tia Oz và AS = 2 nên S(0; 0; 2). Vì hình chiếu của C lên các trục Ox, Oy, Oz lần lượt là B, D, A nên C(3; 4; 0).

b) Ta có $\vec{B D} = (0 - 3; 4 - 0; 0 - 0) = (- 3; 4; 0)$ , suy ra $∣ \vec{B D} ∣ = \sqrt{(- 3)^{2} + 4^{2} + 0^{2}} = 5$ .
Ta có $\vec{S C} = (3 - 0; 4 - 0; 0 - 2) = (3; 4; - 2)$ , suy ra $∣ \vec{S C} ∣ = \sqrt{3^{2} + 4^{2} + (- 2)^{2}} = \sqrt{29}$ .
c) Ta có $\cos (\vec{B D}, \vec{S C}) = \frac{\vec{B D} \cdot \vec{S C}}{∣ \vec{B D} ∣ ∣ \vec{S C} ∣} = \frac{(- 3) .3 + 4.4 + 0. (- 2)}{5 \sqrt{29}} = \frac{7}{5 \sqrt{29}}$ , suy ra $(\vec{B D}, \vec{S C}) \approx 74, 9^{\circ}$ .

Chú ý

Nếu A( $X_{A}$ ; $Y_{A}$ ; $Z_{A}$ ) và B( $X_{B}$ ; $Y_{B}$ ; $Z_{B}$ ) thì $∣ \vec{A B} ∣ = A B = \sqrt{(X_{B} - X_{A})^{2} + (Y_{B} - Y_{A})^{2} + (Z_{B} - Z_{A})^{2}}$ .
Đặc biệt, khi B trùng O ta nhận được công thức $O A = \sqrt{X_{A}^{2} + Y_{A}^{2} + Z_{A}^{2}}$ .

Luyện tập 4

Trong không gian Oxyz, cho A(0; 2; 1), B(3; -2; 1) và C(-2; 5; 7).
a) Tính chu vi của tam giác ABC.
b) Tính $\hat{B A C}$ .

Vận dụng toạ độ của vectơ trong một số bài toán có liên quan đến thực tiễn

Ví dụ 5

Trong không gian với một hệ trục toạ độ cho trước (đơn vị đo lấy theo kilômét), ra đa phát hiện một chiếc máy bay di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm A(800; 500; 7) đến điểm B (940; 550; 8) trong 10 phút. Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì toạ độ của máy bay sau 5 phút tiếp theo là gì?

Hình/bảng: Hình 2.49: Một máy bay đang bay. Các điểm A, B, C trên đường bay.

Lời giải

Giải (H.2.49)
Gọi C(x; y, z) là vị trí của máy bay sau 5 phút tiếp theo. Vì hướng của máy bay không đổi nên $\vec{A B}$ và $\vec{B C}$ cùng hướng. Do vận tốc của máy bay không đổi và thời gian bay từ A đến B gấp đôi thời gian bay từ B đến C nên $\vec{A B} = 2 \vec{B C}$ .
Do đó $\vec{B C} = \frac{1}{2} \vec{A B} = (\frac{940 - 800}{2}; \frac{550 - 500}{2}; \frac{8 - 7}{2}) = (70; 25; 0, 5)$ .
Mặt khác, $\vec{B C} = (x - 940; y - 550; z - 8)$ nên ${\begin{cases} x - 940 = 70 \\ y - 550 = 25 \\ z - 8 = 0, 5 \end{cases}$ .
Từ đó ${\begin{cases} x = 1010 \\ y = 575 \\ z = 8, 5 \end{cases}$ và vì vậy C(1010; 575; 8,5).
Vậy toạ độ của máy bay sau 5 phút tiếp theo là (1010; 575; 8,5).

Luyện tập 5

Với các giả thiết như trong Ví dụ 5, hãy xác định toạ độ của chiếc máy bay sau 10 phút tiếp theo (tính từ thời điểm máy bay ở điểm B).

Ví dụ 6

Hãy trả lời câu hỏi trong tình huống mở đầu.

Lời giải

Giải. Vì điểm A' có toạ độ là (240; 450; 0) nên khoảng cách từ A' đến các trục Ox, Oy lần lượt là 450 cm và 240 cm. Suy ra A'A = 450 cm và A'O' = 240 cm. Từ giả thiết suy ra $\vec{A^{'} B^{'}} = (- 120; 0; 300)$ , do đó $∣ \vec{A^{'} B^{'}} ∣ = A^{'} B^{'} = \sqrt{(- 120)^{2} + 0^{2} + 300^{2}} = 60 \sqrt{29} \approx 323$ (cm).
Vì O'O = A'A = 450 cm và O' nằm trên trục Oy nên toạ độ của điểm O' là (0; 450; 0).
Do đó $\vec{O^{'} B^{'}} = (120; 0; 300)$ và $∣ \vec{O^{'} B^{'}} ∣ = O^{'} B^{'} = \sqrt{120^{2} + 0^{2} + 300^{2}} = 60 \sqrt{29} \approx 323$ (cm).
Vậy mỗi căn nhà gỗ có chiều dài là 450 cm, chiều rộng là 240 cm, mỗi cạnh bên của mặt tiền có độ dài là 323 cm.

Luyện tập 6

Trong tình huống mở đầu, hãy tính độ lớn của góc $α$ .

Hình/bảng: Góc $\alpha$ chính là góc giữa mặt bên của căn nhà gỗ và mặt đất.

Ví dụ 7

Hai chiếc khinh khí cầu bay lên từ cùng một địa điểm. Chiếc thứ nhất nằm cách điểm xuất phát 2 km về phía nam và 1 km về phía đông, đồng thời cách mặt đất 0,5 km. Chiếc thứ hai nằm cách điểm xuất phát 1 km về phía bắc và 1,5 km về phía tây, đồng thời cách mặt đất 0,8 km.
Chọn hệ trục toạ độ Oxyz với gốc O đặt tại điểm xuất phát của hai khinh khí cầu, mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt đất với trục Ox hướng về phía nam, trục Oy hướng về phía đông và trục Oz hướng thẳng đứng lên trời (H.2.50), đơn vị đo lấy theo kilômét.
a) Tìm toạ độ của mỗi chiếc khinh khí cầu đối với hệ toạ độ đã chọn.
b) Xác định khoảng cách giữa hai khinh khí cầu (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).

Hình/bảng: Hình 2.50: Hệ trục tọa độ Oxyz với Ox hướng Nam, Oy hướng Đông, Oz hướng lên trời. Hai khinh khí cầu ở các vị trí khác nhau.

Lời giải

Giải
a) Chiếc khinh khí cầu thứ nhất và thứ hai có toạ độ lần lượt là (2; 1; 0,5) và (-1; -1,5; 0,8).
b) Khoảng cách giữa hai chiếc khinh khí cầu là
$\sqrt{(- 1 - 2)^{2} + (- 1, 5 - 1)^{2} + (0, 8 - 0, 5)^{2}} = \sqrt{15, 34} \approx 3, 92$ (km).

Xem bản PDF nguyên trang sách: Toán 12 tập 1 – Kết nối tri thức với cuộc sống (trang 67–71).