Bài 3. Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Yêu cầu cần đạt

Nhận biết hình ảnh hình học của đường tiệm cận ngang, đường tiệm cận đứng, đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Thuật ngữ: Tiệm cận ngang · Tiệm cận đứng · Tiệm cận xiên

Giả sử khối lượng còn lại của một chất phóng xạ (gam) sau $t$ ngày phân rã được cho bởi hàm số
$m (t) = 15 e^{- 0, 012 t}$
Khối lượng $m (t)$ thay đổi ra sao khi $t \to + \infty$ ? Điều này thể hiện trên Hình 1.18 như thế nào?

Hình 1.18. Đồ thị hàm số

y = m (t)

giảm dần và tiệm cận trục hoành khi

t \to + \infty

1. Đường tiệm cận ngang

HĐ1

Nhận biết đường tiệm cận ngang
Cho hàm số $y = f (x) = \frac{2 x + 1}{x}$ có đồ thị $(C)$ . Với $x > 0$ , xét điểm $M (x; f (x))$ thuộc $(C)$ . Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $M$ trên đường thẳng $y = 2$ (H.1.19).
a) Tính khoảng cách $M H$ .
b) Có nhận xét gì về khoảng cách $M H$ khi $x \to + \infty$ ?

Hình 1.19. Đồ thị hàm số

(C)

và đường thẳng

y = 2

. Điểm

M (x, f (x))

trên

(C)

và hình chiếu

H

của

M

trên

y = 2

Đường thẳng $y = y_{0}$ gọi là đường tiệm cận ngang (gọi tắt là tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số $y = f (x)$ nếu
$\lim_{x \to + \infty} f (x) = y_{0}$ hoặc $\lim_{x \to - \infty} f (x) = y_{0}$ .

Hình 1.20. Hai đồ thị minh họa đường tiệm cận ngang

y = y_{0}

khi

x \to + \infty

và khi

x \to - \infty

Ví dụ 1

Tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = f (x) = \frac{3 x - 2}{x + 1}$ .

Lời giải

Giải
Ta có: $\lim_{x \to + \infty} f (x) = \lim_{x \to + \infty} \frac{3 x - 2}{x + 1} = \lim_{x \to + \infty} \frac{3 - \frac{2}{x}}{1 + \frac{1}{x}} = 3$ . Tương tự, $\lim_{x \to - \infty} f (x) = 3$ .
Vậy đồ thị hàm số $f (x)$ có tiệm cận ngang là đường thẳng $y = 3$ .

Ví dụ 2

Tìm các tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = f (x) = \frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{x}$ .

Lời giải

Giải
Ta có:
$\lim_{x \to + \infty} f (x) = \lim_{x \to + \infty} \frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{x} = \lim_{x \to + \infty} \frac{\sqrt{x^{2} (1 + \frac{1}{x^{2}})}}{x} = \lim_{x \to + \infty} \frac{∣ x ∣ \sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}}}{x} = \lim_{x \to + \infty} \frac{x \sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}}}{x} = \lim_{x \to + \infty} \sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}} = 1$ ;
$\lim_{x \to - \infty} f (x) = \lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{x} = \lim_{x \to - \infty} \frac{∣ x ∣ \sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}}}{x} = \lim_{x \to - \infty} \frac{- x \sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}}}{x} = \lim_{x \to - \infty} - \sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}} = - 1$ .
Vậy đồ thị hàm số $f (x)$ có hai tiệm cận ngang là $y = 1$ và $y = - 1$ .

Nhận xét

Đồ thị hàm số $f (x)$ như Hình 1.21.

Hình 1.21. Đồ thị hàm số

y = \frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{x}

với hai tiệm cận ngang

y = 1

và

y = - 1

Luyện tập 1

Dạng bài: Tìm tiệm cận ngang

Tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = f (x) = \frac{2 x - 1}{x - 1}$ .

Vận dụng 1

Giải bài toán trong tình huống mở đầu.

2. Đường tiệm cận đứng

HĐ2

Nhận biết đường tiệm cận đứng
Cho hàm số $y = f (x) = \frac{x}{x - 1}$ có đồ thị $(C)$ . Với $x > 1$ , xét điểm $M (x; f (x))$ thuộc $(C)$ . Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $M$ trên đường thẳng $x = 1$ (H.1.22).
a) Tính khoảng cách $M H$ .
b) Khi $M$ thay đổi trên $(C)$ sao cho khoảng cách $M H$ dần đến 0, có nhận xét gì về tung độ của điểm $M$ ?

Hình 1.22. Đồ thị hàm số

(C)

và đường thẳng

x = 1

. Điểm

M (x, f (x))

trên

(C)

và hình chiếu

H

của

M

trên

x = 1

Đường thẳng $x = x_{0}$ gọi là đường tiệm cận đứng (gọi tắt là tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số $y = f (x)$ nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thoả mãn:
$\lim_{x \to x_{0}^{+}} f (x) = + \infty$ ; $\lim_{x \to x_{0}^{-}} f (x) = - \infty$ ;
$\lim_{x \to x_{0}^{-}} f (x) = + \infty$ ; $\lim_{x \to x_{0}^{+}} f (x) = - \infty$ .

Hình 1.23. Bốn đồ thị minh họa đường tiệm cận đứng

x = x_{0}

khi

x \to x_{0}^{+}

hoặc

x \to x_{0}^{-}

, với

f (x)

tiến tới

\pm \infty

Ví dụ 3

Tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = f (x) = \frac{3 - x}{x + 2}$ .

Lời giải

Giải
Ta có: $\lim_{x \to - 2^{+}} f (x) = \lim_{x \to - 2^{+}} \frac{3 - x}{x + 2} = + \infty$ . Tương tự, $\lim_{x \to - 2^{-}} f (x) = - \infty$ . Vậy đồ thị hàm số $f (x)$ có tiệm cận đứng là đường thẳng $x = - 2$ .

Ví dụ 4

Tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = f (x) = \frac{x^{2} + 2}{x}$ .

Lời giải

Giải
Ta có: $\lim_{x \to 0^{+}} f (x) = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2} + 2}{x} = + \infty$ . Tương tự, $\lim_{x \to 0^{-}} f (x) = - \infty$ . Vậy đồ thị hàm số $f (x)$ có tiệm cận đứng là đường thẳng $x = 0$ .

Luyện tập 2

Dạng bài: Tìm tiệm cận ngang và đứng

Tìm các tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = f (x) = \frac{2 x + 1}{x - 4}$ .

Vận dụng 2

Để loại bỏ $p %$ một loài tảo độc khỏi một hồ nước, người ta ước tính chi phí bỏ ra là
$C (p) = \frac{45 p}{100 - p}$ (triệu đồng), với $0 \leq p < 100$ .
Tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $C (p)$ và nêu ý nghĩa thực tiễn của đường tiệm cận này.

3. Đường tiệm cận xiên

HĐ3

Nhận biết đường tiệm cận xiên
Cho hàm số $y = f (x) = x - 1 + \frac{2}{x + 1}$ có đồ thị $(C)$ và đường thẳng $y = x – 1$ như Hình 1.24.
a) Với $x > - 1$ , xét điểm $M (x; f (x))$ thuộc $(C)$ . Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $M$ trên đường thẳng $y = x - 1$ . Có nhận xét gì về khoảng cách $M H$ khi $x \to + \infty$ ?
b) Chứng tỏ rằng $\lim_{x \to + \infty} [f (x) - (x - 1)] = 0$ . Tính chất này thể hiện trên Hình 1.24 như thế nào?

Hình 1.24. Đồ thị hàm số

(C)

và đường thẳng

y = x - 1

. Điểm

M (x, f (x))

trên

(C)

và hình chiếu

H

của

M

trên

y = x - 1

. Khi

x \to + \infty

, đồ thị

(C)

tiến gần đường thẳng

y = x - 1

Đường thẳng $y = a x + b$ ( $a \neq 0$ ) gọi là đường tiệm cận xiên (gọi tắt là tiệm cận xiên) của đồ thị hàm số $y = f (x)$ nếu
$\lim_{x \to + \infty} [f (x) - (a x + b)] = 0$ hoặc $\lim_{x \to - \infty} [f (x) - (a x + b)] = 0$ .

Hình 1.25. Hai đồ thị minh họa đường tiệm cận xiên

y = a x + b

khi

x \to + \infty

và khi

x \to - \infty

Ví dụ 5

Cho hàm số $y = f (x) = x + \frac{1}{x + 2}$ . Tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $f (x)$ .

Lời giải

Giải
Ta có: $\lim_{x \to + \infty} [f (x) - x] = \lim_{x \to + \infty} \frac{1}{x + 2} = 0$ . Tương tự $\lim_{x \to - \infty} [f (x) - x] = 0$ .
Vậy đồ thị hàm số $f (x)$ có tiệm cận xiên là đường thẳng $y = x$ .

Bài tập

1.16

Dạng bài: Đọc đồ thị, tìm giới hạn và tiệm cận

Hình 1.26 là đồ thị của hàm số $y = f (x) = \frac{2 x^{2}}{x^{2} - 1}$ .
Sử dụng đồ thị này, hãy:
a) Viết kết quả của các giới hạn sau: $\lim_{x \to - \infty} f (x)$ ; $\lim_{x \to + \infty} f (x)$ ; $\lim_{x \to 1^{+}} f (x)$ ; $\lim_{x \to - 1^{-}} f (x)$ .
b) Chỉ ra các tiệm cận của đồ thị hàm số đã cho.

Hình 1.26. Đồ thị hàm số

y = \frac{2 x^{2}}{x^{2} - 1}

với các tiệm cận

y = 2

x = 1

x = - 1

1.17

Dạng bài: Kiểm tra tiệm cận đứng

Đường thẳng $x = 1$ có phải là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{x^{2} + 2 x - 3}{x - 1}$ không?

1.18

Dạng bài: Tìm tiệm cận

Tìm các tiệm cận của đồ thị các hàm số sau:
a) $y = \frac{3 - x}{2 x + 1}$
b) $y = \frac{2 x^{2} + x - 1}{x + 2}$

1.19

Dạng bài: Bài toán kinh tế, giới hạn

Một công ty sản xuất đồ gia dụng ước tính chi phí để sản xuất $x$ (sản phẩm) là
$C (x) = 2 x + 50$ (triệu đồng).
Khi đó $f (x) = \frac{C (x)}{x}$ là chi phí sản xuất trung bình cho mỗi sản phẩm. Chứng tỏ rằng hàm số $f (x)$ giảm và $\lim_{x \to + \infty} f (x) = 2$ . Tính chất này nói lên điều gì?

1.20

Dạng bài: Bài toán hình học, tiệm cận

Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích bằng 144 m $^{2}$ . Biết độ dài một cạnh của mảnh vườn là $x$ (m).
a) Viết biểu thức tính chu vi $P (x)$ (mét) của mảnh vườn.
b) Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số $P (x)$ .

Xem bản PDF nguyên trang sách: Toán 12 tập 1 – Kết nối tri thức với cuộc sống (trang 20–25).