Bài tập cuối chương I

1.30

Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm trên khoảng $(a;b)$. Phát biểu nào dưới đây là đúng?\nA. Nếu $f^{\mathrm{\prime }}(x)\ge 0$ với mọi $x$ thuộc $(a;b)$ thì hàm số $y=f(x)$ đồng biến trên $(a;b)$.\nB. Nếu $f^{\mathrm{\prime }}(x)>0$ với mọi $x$ thuộc $(a;b)$ thì hàm số $y=f(x)$ đồng biến trên $(a;b)$.\nC. Hàm số $y=f(x)$ đồng biến trên $(a;b)$ khi và chỉ khi $f^{\mathrm{\prime }}(x)\ge 0$ với mọi $x$ thuộc $(a;b)$.\nD. Hàm số $y=f(x)$ đồng biến trên $(a;b)$ khi và chỉ khi $f^{\mathrm{\prime }}(x)>0$ với mọi $x$ thuộc $(a;b)$.

1.31

Hàm số nào sau đây nghịch biến trên $\mathbb{R}$?\nA. $y=-x^3+3x^2-9x$.\nB. $y=-x^3+x+1$.\nC. $y=\frac{x-1}{x-2}$.\nD. $y=2x^2+3x+2$.

1.32

Hàm số nào dưới đây không có cực trị?\nA. $y=\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }$.\nB. $y=x^2$.\nC. $y=-x^3+x$.\nD. $y=\frac{2x-1}{x+1}$.

1.33

Giá trị cực tiểu của hàm số $y=x^2\ln x$ là\nA. $\frac{1}{e}$.\nB. $-\frac{1}{e}$.\nC. $-\frac{1}{2e}$.\nD. $\frac{1}{2e}$.

1.34

Giá trị lớn nhất của hàm số $y=(x-2{)}^2-e^x$ trên đoạn $[1;3]$ là\nA. 0.\nB. $e^3$.\nC. $e^4$.\nD. $e$.

1.35

Cho hàm số $y=f(x)$ thoả mãn: ${\lim }_{x\to -\mathrm{\infty }}f(x)=1$; ${\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}f(x)=1$; ${\lim }_{x\to 2^{-}}f(x)=2$ và ${\lim }_{x\to 2^{+}}f(x)=2$. Khẳng định nào sau đây là đúng?\nA. Đường thẳng $x=2$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.\nB. Đường thẳng $y=2$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.\nC. Đường thẳng $y=1$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.\nD. Đường thẳng $x=2$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

1.36

Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y=\frac{x^2+2x-2}{x+2}$ là\nA. $y=-2$.\nB. $y=1$.\nC. $y=x+2$.\nD. $y=x$.

1.37

Cho hàm số $y=f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}\setminus \{1;3\}$, liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như sau:\n\begin{array}{|c|cc||c||cc||c||cc|}\hline x & -\infty & & 1 & & 2 & & 3 & & +\infty \\ \hline f'(x) & & - & || & - & 0 & + & || & + \\ \hline f(x) & 1 & & +\infty & & 7 & & +\infty & \\ & & \searrow & || & \searrow & & \nearrow & || & \nearrow \\ & & & -\infty & & 5 & & -\infty & \\ & & & & & & & & \\ \hline \end{array}\nKhẳng định nào sau đây là sai?\nA. Đường thẳngy = 1là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.\nB. Đường thẳngy = -1là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.\nC. Đường thẳngx = 3là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.\nD. Đường thẳngx = 1$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

Hình/bảng: Bảng biến thiên của hàm số f(x) với các điểm gián đoạn tại x=1 và x=3. f'(x) âm trên $(-\infty, 1)$ và $(1, 2)$, dương trên $(2, 3)$ và $(3, +\infty)$. f(x) giảm từ 1 đến $-\infty$, giảm từ $+\infty$ đến 5, tăng từ 5 đến $+\infty$, tăng từ $-\infty$ đến -4.

1.38

Đồ thị trong Hình 1.37 là đồ thị của hàm số:\nA. $y=\frac{x+2}{x+1}$\nB. $y=\frac{2x-1}{x+1}$\nC. $y=\frac{x-1}{x+1}$\nD. $y=\frac{x+3}{1-x}$

Hình/bảng: Đồ thị của một hàm số có tiệm cận đứng x=-1 và tiệm cận ngang y=1. Đồ thị có hai nhánh, một nhánh ở góc phần tư thứ hai và một nhánh ở góc phần tư thứ tư, cắt trục hoành tại x=-2 và trục tung tại y=2.

1.39

Đồ thị trong Hình 1.38 là đồ thị của hàm số:\nA. $y=x-\frac{1}{x+1}$\nB. $y=\frac{2x+1}{x+1}$\nC. $y=\frac{x^2-x+1}{x+1}$\nD. $y=\frac{x^2+x+1}{x+1}$

Hình/bảng: Đồ thị của một hàm số có tiệm cận đứng x=-1 và tiệm cận xiên y=x. Đồ thị có hai nhánh, một nhánh ở góc phần tư thứ hai và một nhánh ở góc phần tư thứ tư.

1.40

Xét chiều biến thiên và tìm các cực trị (nếu có) của các hàm số sau:\na) $y=x^3-3x^2+3x-1$;\nb) $y=x^4-2x^2-1$;\nc) $y=\frac{2x-1}{3x+1}$;\nd) $y=\frac{x^2+2x+2}{x+1}$.

1.41

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau:\na) $y=\frac{2x+1}{3x-2}$ trên nửa khoảng $[2;+\mathrm{\infty })$;\nb) $y=\sqrt{2-x^2}$.

1.42

Tìm các tiệm cận của mỗi đồ thị hàm số sau:\na) $y=\frac{3x-2}{x+1}$;\nb) $y=\frac{x^2+2x-1}{2x-1}$.

1.43

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:\na) $y=-x^3+6x^2-9x+12$;\nb) $y=\frac{2x-1}{x+1}$;\nc) $y=\frac{x^2-2x}{x-1}$.

1.44

Xét một thấu kính hội tụ có tiêu cự $f$ (H.1.39). Khoảng cách $p$ từ vật đến thấu kính liên hệ với khoảng cách $q$ từ ảnh đến thấu kính bởi hệ thức:\n$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=\frac{1}{f}$\na) Viết công thức tính $q=g(p)$ như một hàm số của biến $p\in (f;+\mathrm{\infty })$.\nb) Tính các giới hạn ${\lim }_{p\to f^{+}}g(p)$; ${\lim }_{p\to +\mathrm{\infty }}g(p)$ và giải thích ý nghĩa các kết quả này.\nc) Lập bảng biến thiên của hàm số $q=g(p)$ trên khoảng $(f;+\mathrm{\infty })$.

Hình/bảng: Sơ đồ thấu kính hội tụ với vật M, ảnh M', tiêu điểm F, và các khoảng cách p, q, f.

1.45

Dân số của một quốc gia sau $t$ (năm) kể từ năm 2023 được ước tính bởi công thức:\n$N(t)=100e^{0,012t}$ ($N(t)$ được tính bằng triệu người, $0\le t\le 50$).\na) Ước tính dân số của quốc gia này vào các năm 2030 và 2035 (kết quả tính bằng triệu người, làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ ba).\nb) Xem $N(t)$ là hàm số của biến số $t$ xác định trên đoạn $[0;50]$. Xét chiều biến thiên của hàm số $N(t)$ trên đoạn $[0;50]$.\nc) Đạo hàm của hàm số $N(t)$ biểu thị tốc độ tăng dân số của quốc gia đó (tính bằng triệu người/năm). Vào năm nào tốc độ tăng dân số của quốc gia đó là 1,6 triệu người/năm?

1.46

Một đường dây điện được nối từ một nhà máy điện ở A đến một hòn đảo ở C như Hình 1.40. Khoảng cách từ C đến B là 4 km. Bờ biển chạy thẳng từ A đến B với khoảng cách là 10 km. Tổng chi phí lắp đặt cho 1 km dây điện trên biển là 50 triệu đồng, còn trên đất liền là 30 triệu đồng. Xác định vị trí điểm M trên đoạn AB (điểm nối dây từ đất liền ra đảo) để tổng chi phí lắp đặt là nhỏ nhất.

Hình/bảng: Sơ đồ vị trí nhà máy điện A, điểm B trên bờ, hòn đảo C cách B 4km. Đoạn AB dài 10km. Điểm M nằm trên AB. Dây điện nối từ A đến M và từ M đến C.