Bài 7. Hệ trục toạ độ trong không gian

Yêu cầu cần đạt

Nhận biết toạ độ của điểm, của vectơ đối với hệ trục toạ độ.
Vận dụng toạ độ của vectơ để giải một số bài toán có liên quan đến thực tiễn.

Thuật ngữ: Hệ trục toạ độ trong không gian · Toạ độ của điểm trong không gian · Toạ độ của vectơ trong không gian · hệ trục toạ độ Descartes vuông góc Oxyz · hệ toạ độ Oxyz · gốc toạ độ · mặt phẳng toạ độ · toạ độ · hoành độ · tung độ · cao độ

\begin{array}{ll}
\textbf{THUẬT NGỮ} & \textbf{KIẾN THỨC, KĨ NĂNG} \\
\text{• Hệ trục toạ độ trong không gian} & \text{• Nhận biết toạ độ của điểm, của vectơ đối với hệ trục} \\
\text{• Toạ độ của điểm trong không gian} & \text{toạ độ.} \\
\text{• Toạ độ của vectơ trong không gian} & \text{• Vận dụng toạ độ của vectơ để giải một số bài toán có} \\
& \text{liên quan đến thực tiễn.} \\
\end{array}

Trong Hình 2.34, một chiếc bóng đèn được treo cách sàn nhà là 2 m, cách hai bức tường lần lượt là 1 m và 1,5 m. Kiến thức toán học nào giúp mô tả chính xác và ngắn gọn vị trí của chiếc bóng đèn trong không gian?

Hình 2.34. Một chiếc bóng đèn được treo trong phòng, với các kích thước 1 m, 1.5 m, 2 m.

HĐ1

Hình thành khái niệm hệ trục toạ độ trong không gian
Trong không gian, xét ba trục Ox, Oy, Oz có chung gốc O và đôi một vuông góc với nhau. Gọi $\vec{i}$ , $\vec{j}$ , $\vec{k}$ là các vectơ đơn vị trên các trục đó (H.2.35).
a) Gọi tên các mặt phẳng toạ độ có trong Hình 2.35.
b) Các mặt phẳng toạ độ trong Hình 2.35 có đôi một vuông góc với nhau không?

Hình/bảng: Hình 2.35: Hệ trục toạ độ Oxyz với các vectơ đơn vị $\vec{i}$, $\vec{j}$, $\vec{k}$.

Hình 2.35. Hệ trục toạ độ Oxyz với các vectơ đơn vị

\vec{i}

\vec{j}

\vec{k}

Trong không gian, ba trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc với nhau tại gốc O của mỗi trục. Gọi $\vec{i}$ , $\vec{j}$ , $\vec{k}$ lần lượt là các vectơ đơn vị trên các trục Ox, Oy, Oz.
. Hệ ba trục như vậy được gọi là hệ trục toạ độ Descartes vuông góc Oxyz, hay đơn giản là hệ toạ độ Oxyz.
. Điểm O được gọi là gốc toạ độ.
. Các mặt phẳng (Oxy), (Oyz), (Ozx) đôi một vuông góc với nhau được gọi là các mặt phẳng toạ độ.
Không gian với hệ toạ độ Oxyz còn được gọi là không gian Oxyz.

Hãy tìm toạ độ của gốc O.

Góc căn phòng trong Hình 2.34 có gợi lên hình ảnh về hệ toạ độ Oxyz trong không gian hay không? Nếu có, hãy mô tả gốc toạ độ và các mặt phẳng toạ độ trong hình ảnh đó.

Ví dụ 1

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có độ dài mỗi cạnh bằng 1 (H.2.36). Có thể lập một hệ toạ độ Oxyz có gốc O trùng với đỉnh B' và các vectơ $\vec{i}$ , $\vec{j}$ , $\vec{k}$ lần lượt là các vectơ $\vec{B^{'} A^{'}}$ , $\vec{B^{'} C^{'}}$ , $\vec{B^{'} B}$ không? Giải thích vì sao.

Hình/bảng: Hình 2.36: Hình lập phương ABCD.A'B'C'D'.

Lời giải

Giải
Hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có các cạnh B'A', B'C' và B'B đôi một vuông góc với nhau.
Vì hình lập phương có độ dài mỗi cạnh bằng 1 nên các vecto $\vec{B^{'} A^{'}}$ , $\vec{B^{'} C^{'}}$ , $\vec{B^{'} B}$ cùng có điểm đầu là B' và đều có độ dài bằng 1.
Từ các điều trên, suy ra có thể lập một hệ toạ độ Oxyz có gốc O trùng với đỉnh B' và các vectơ $\vec{i}$ , $\vec{j}$ , $\vec{k}$ lần lượt là các vecto $\vec{B^{'} A^{'}}$ , $\vec{B^{'} C^{'}}$ , $\vec{B^{'} B}$ .

Hình 2.36. Hình lập phương ABCD.A'B'C'D'.

Luyện tập 1

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'. Có thể lập một hệ toạ độ Oxyz có gốc O trùng với đỉnh C và các vectơ $\vec{i}$ , $\vec{j}$ , $\vec{k}$ lần lượt cùng hướng với các vectơ $\vec{C B}$ , $\vec{C D}$ , $\vec{C C^{'}}$ không? Giải thích vì sao.

2. Toạ độ của điểm, toạ độ của vectơ trong không gian

HĐ2

Hình thành khái niệm toạ độ của điểm trong không gian
Trong không gian Oxyz, cho một điểm M không thuộc các mặt phẳng toạ độ. Vẽ hình hộp chữ nhật OADB.CFME có ba đỉnh A, B, C lần lượt thuộc các tia Ox, Oy, Oz (H.2.37).
a) Hai vecto $\vec{O M}$ và $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C}$ có bằng nhau hay không?
b) Giải thích vì sao có thể viết $\vec{O M} = x \vec{i} + y \vec{j} + z \vec{k}$ với x, y, z là các số thực.

Hình/bảng: Hình 2.37: Hình hộp chữ nhật OADB.CFME trong hệ trục Oxyz. Các đỉnh A, B, C nằm trên các trục Ox, Oy, Oz tương ứng.

Hình 2.37. Hình hộp chữ nhật OADB.CFME trong hệ trục Oxyz. Các đỉnh A, B, C nằm trên các trục Ox, Oy, Oz tương ứng.

Người ta chứng minh được rằng với điểm M tuỳ ý, bộ ba số (x; y, z) trong HĐ2 là duy nhất. Ngược lại nếu $\vec{O M} = x \vec{i} + y \vec{j} + z \vec{k}$ thì điểm M xác định duy nhất.
Trong không gian Oxyz, cho một điểm M tuỳ ý. Bộ ba số (x; y z) duy nhất sao cho $\vec{O M} = x \vec{i} + y \vec{j} + z \vec{k}$ được gọi là toạ độ của điểm M đối với hệ toạ độ Oxyz. Khi đó, ta viết $M = (x; y, z)$ hoặc $M (x; y, z)$ , trong đó x là hoành độ, y là tung độ và z là cao độ của M.

Ví dụ 2

Hình 2.38 minh hoạ một hệ toạ độ Oxyz trong không gian cùng với các hình vuông có cạnh bằng 1 đơn vị. Tìm toạ độ của điểm M.

Hình/bảng: Hình 2.38: Hệ trục Oxyz với một hình hộp chữ nhật ABCM.FODE. Điểm M có tọa độ (3,4,3).

Lời giải

Giải
Trong Hình 2.38, ABCM.FODE là hình hộp chữ nhật. Áp dụng quy tắc hình hộp suy ra
$\vec{O M} = \vec{O F} + \vec{O D} + \vec{O B} = 3 \vec{i} + 4 \vec{j} + 3 \vec{k}$ .
Vì vậy, toạ độ của điểm M là (3; 4; 3).

Hình 2.38. Hệ trục Oxyz với một hình hộp chữ nhật ABCM.FODE. Điểm M có tọa độ (3,4,3).

Luyện tập 2

Tìm toạ độ của điểm N trong Hình 2.39.

Hình/bảng: Hình 2.39: Hệ trục Oxyz với một điểm N.

Hình 2.39. Hệ trục Oxyz với một điểm N.

Ví dụ 3

Trong không gian Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có đỉnh A' trùng với gốc O và các đỉnh D', B', A lần lượt thuộc các tia Ox, Oy, Oz (H.2.40). Giả sử đỉnh C có toạ độ là (2; 3; 5) đối với hệ toạ độ Oxyz, hãy tìm toạ độ của các đỉnh D', B', A đối với hệ toạ độ đó.

Hình/bảng: Hình 2.40: Hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' với A' trùng gốc O, D' trên Ox, B' trên Oy, A trên Oz.

Lời giải

Giải
Vì đỉnh D' thuộc tia Ox nên hai vecto $\vec{O D^{'}}$ và $\vec{i}$ cùng phương, suy ra có số thực m sao cho $\vec{O D^{'}} = m \vec{i}$ . Tương tự, có các số thực n, p sao cho $\vec{O B^{'}} = n \vec{j}$ và $\vec{O A} = p \vec{k}$ . Theo quy tắc hình hộp, suy ra $\vec{O C} = \vec{O D^{'}} + \vec{O B^{'}} + \vec{O A} = m \vec{i} + n \vec{j} + p \vec{k}$ và do đó điểm C có toạ độ là $(m; n; p)$ .
Mặt khác, đỉnh C có toạ độ là (2; 3; 5) nên $m = 2$ , $n = 3$ , $p = 5$ , tức là $\vec{O D^{'}} = 2 \vec{i}$ , $\vec{O B^{'}} = 3 \vec{j}$ và $\vec{O A} = 5 \vec{k}$ .
Từ đây suy ra $D^{'} (2; 0; 0)$ , $B^{'} (0; 3; 0)$ và $A (0; 0; 5)$ .

Hình 2.40. Hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' với A' trùng gốc O, D' trên Ox, B' trên Oy, A trên Oz.

Luyện tập 3

Trong Ví dụ 3, hãy xác định toạ độ của các điểm B, D và C'.

Nhận xét

Nếu điểm M có toạ độ (x; y, z) đối với hệ toạ độ Oxyz thì:
— Hình chiếu vuông góc của M trên các trục Ox, Oy và Oz có toạ độ lần lượt là (x; 0; 0), (0; y; 0) và (0; 0; z).
— Hình chiếu vuông góc của M trên các mặt phẳng (Oxy), (Oyz) và (Ozx) có toạ độ lần lượt là (x; y; 0), (0; y, z) và (x; 0; z).

Vận dụng 1

Trong tình huống mở đầu, hãy chọn một hệ toạ độ phù hợp và xác định toạ độ của chiếc bóng đèn đối với hệ toạ độ đó.

HĐ3

Hình thành khái niệm toạ độ của vecto trong không gian
Trong không gian Oxyz, cho vectơ $\vec{a}$ tuỳ ý (H.2.41).
Lấy điểm M sao cho $\vec{O M} = \vec{a}$ và giải thích vì sao có bộ ba số $(x; y, z)$ sao cho $\vec{a} = x \vec{i} + y \vec{j} + z \vec{k}$ .

Hình/bảng: Hình 2.41: Vectơ $\vec{a}$ và điểm M sao cho $\vec{OM}=\vec{a}$ trong hệ trục Oxyz.

Hình 2.41. Vectơ

\vec{a}

và điểm M sao cho

\vec{O M} = \vec{a}

trong hệ trục Oxyz.

Người ta chứng minh được rằng bộ ba số (x; y z) trong HĐ3 là duy nhất.
Trong không gian Oxyz, cho vectơ $\vec{a}$ tuỳ ý. Bộ ba số (x; y z) duy nhất sao cho $\vec{a} = x \vec{i} + y \vec{j} + z \vec{k}$ được gọi là toạ độ của vectơ $\vec{a}$ đối với hệ toạ độ Oxyz. Khi đó, ta viết $\vec{a} = (x; y; z)$ hoặc $\vec{a} (x; y; z)$ .

Nhận xét

— Toạ độ của vectơ $\vec{a}$ cũng là toạ độ của điểm M sao cho $\vec{O M} = \vec{a}$ .
— Trong không gian, cho hai vectơ $\vec{a} = (x; y; z)$ và $\vec{b} = (x^{'}; y^{'}; z^{'})$ . Khi đó, $\vec{a} = \vec{b}$ nếu và chỉ nếu ${\begin{cases} x = x^{'} \\ y = y^{'} \\ z = z^{'} . \end{cases}$

Ví dụ 4

Trong không gian Oxyz, hãy tìm toạ độ của các vectơ $\vec{i}$ , $\vec{j}$ và $\vec{k}$ .

Lời giải

Giải
Vì $\vec{i} = 1 \cdot \vec{i} + 0 \cdot \vec{j} + 0 \cdot \vec{k}$ nên $\vec{i} = (1; 0; 0)$ .
Vì $\vec{j} = 0 \cdot \vec{i} + 1 \cdot \vec{j} + 0 \cdot \vec{k}$ nên $\vec{j} = (0; 1; 0)$ .
Vì $\vec{k} = 0 \cdot \vec{i} + 0 \cdot \vec{j} + 1 \cdot \vec{k}$ nên $\vec{k} = (0; 0; 1)$ .

Luyện tập 4

Trong không gian Oxyz, hãy xác định toạ độ của vectơ $\vec{i} + 2 \vec{j} + 5 \vec{k}$ .

HĐ4

Thiết lập toạ độ của vectơ theo toạ độ hai đầu mút
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $M (x; y; z)$ và $N (x^{'}; y^{'}; z^{'})$ .
a) Hãy biểu diễn hai vectơ $\vec{O M}$ và $\vec{O N}$ qua các vectơ $\vec{i}$ , $\vec{j}$ và $\vec{k}$ .
b) Xác định toạ độ của vectơ $\vec{M N}$ .

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $M (x_{M}; y_{M}; z_{M})$ và $N (x_{N}; y_{N}; z_{N})$ . Khi đó:
$\vec{M N} = (x_{N} - x_{M}; y_{N} - y_{M}; z_{N} - z_{M})$

Ví dụ 5

Trong không gian Oxyz, cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có $A (1; 0; 2)$ , $B (3; 2; 5)$ , $C (7; - 3; 9)$ và $A^{'} (5; 0; 1)$ .
a) Tìm toạ độ của $\vec{A A^{'}}$ .
b) Tìm toạ độ của các điểm B', C'.

Hình/bảng: Hình 2.42: Hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' với các điểm A, B, C, A' có tọa độ.

Lời giải

Giải (H.2.42)
a) Ta có: $\vec{A A^{'}} = (x_{A^{'}} - x_{A}; y_{A^{'}} - y_{A}; z_{A^{'}} - z_{A}) = (4; 0; - 1)$ .
b) Gọi toạ độ của điểm B' là (x; y, z) thì $\vec{B B^{'}} = (x - 3; y - 2; z - 5)$ . Vì ABC.A'B'C' là hình lăng trụ nên ABB'A' là hình bình hành, suy ra $\vec{A A^{'}} = \vec{B B^{'}}$ .

Hình 2.42. Hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' với các điểm A, B, C, A' có tọa độ.

Ví dụ 5

Lời giải

Do đó
${\begin{cases} x - 3 = 4 \\ y - 2 = 0 hay x = 7, y = 2 v \overset{ˋ}{a} z = 4. \\ z - 5 = - 1 \end{cases}$ Vậy $B^{'} (7; 2; 4)$ .
Lập luận tương tự suy ra $C^{'} (11; - 3; 8)$ .

Luyện tập 5

Trong Ví dụ 5, xác định toạ độ của các điểm D và D' sao cho ABCD.A'B'C'D' là hình hộp.

Vận dụng 2

Để theo dõi hành trình của một chiếc máy bay, ta có thể lập hệ toạ độ Oxyz có gốc O trùng với vị trí của trung tâm kiểm soát không lưu, mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt đất (được coi là phẳng) với trục Ox hướng về phía tây, trục Oy hướng về phía nam và trục Oz hướng thẳng đứng lên trời (H.2.43). Sau khi cất cánh và đạt độ cao nhất định, chiếc máy bay duy trì hướng bay về phía nam với tốc độ không đổi là $890 k m / h$ trong nửa giờ. Xác định toạ độ của vectơ biểu diễn độ dịch chuyển của chiếc máy bay trong nửa giờ đó đối với hệ toạ độ đã chọn, biết rằng đơn vị đo trong không gian Oxyz được lấy theo kilômét.

Hình/bảng: Hình 2.43: Máy bay trên hệ trục tọa độ Oxyz.

Hình 2.43. Máy bay trên hệ trục tọa độ Oxyz.

Bài tập

2.13

Trong không gian Oxyz, cho ba vectơ $\vec{a}$ , $\vec{b}$ , $\vec{c}$ đều khác $\vec{0}$ và có giá đôi một vuông góc. Những mệnh đề nào sau đây là đúng?
a) Có thể lập một hệ toạ độ Oxyz có các trục toạ độ lần lượt song song với giá của các vecto $\vec{a}$ , $\vec{b}$ , $\vec{c}$ .
b) Có thể lập một hệ toạ độ Oxyz có các trục toạ độ lần lượt trùng với giá của các vecto $\vec{a}$ , $\vec{b}$ , $\vec{c}$ .
c) Có thể lập một hệ toạ độ Oxyz có các vecto $\vec{i}$ , $\vec{j}$ , $\vec{k}$ lần lượt bằng các vectơ $\vec{a}$ , $\vec{b}$ , $\vec{c}$ .
d) Có thể lập một hệ toạ độ Oxyz có các vecto $\vec{i}$ , $\vec{j}$ , $\vec{k}$ lần lượt cùng phương các vectơ $\vec{a}$ , $\vec{b}$ , $\vec{c}$ .

Hình/bảng: Hình 2.44: Một căn phòng với khung tranh và trần nhà.

Hình 2.44. Một căn phòng với khung tranh và trần nhà.

2.14

Hãy mô tả hệ toạ độ Oxyz trong căn phòng ở Hình 2.44 sao cho gốc O trùng với góc trên của căn phòng, khung tranh nằm trong mặt phẳng (Oxy) và mặt trần nhà trùng với mặt phẳng (Oxz).

Trong không gian Oxyz, cho vectơ $\vec{a}$ tuỳ ý. Bộ ba số (x; y; z) duy nhất sao cho $\vec{a} = x \vec{i} + y \vec{j} + z \vec{k}$ được gọi là toạ độ của vectơ $\vec{a}$ đối với hệ toạ độ Oxyz. Khi đó, ta viết $\vec{a} = (x, y, z)$ hoặc $\vec{a} (x; y; z)$ .

Do đó ${\begin{cases} x - 3 = 4 \\ y - 2 = 0 \\ z - 5 = - 1 \end{cases}$ hay x = 7, y = 2 và z = 4. Vậy B'(7; 2; 4).
Lập luận tương tự suy ra C'(11; -3; 8).

Vận dụng 2

Để theo dõi hành trình của một chiếc máy bay, ta có thể lập hệ toạ độ Oxyz có gốc O trùng với vị trí của trung tâm kiểm soát không lưu, mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt đất (được coi là phẳng) với trục Ox hướng về phía tây, trục Oy hướng về phía nam và trục Oz hướng thẳng đứng lên trời (H.2.43). Sau khi cất cánh và đạt độ cao nhất định, chiếc máy bay duy trì hướng bay về phía nam với tốc độ không đổi là 890 km/h trong nửa giờ. Xác định toạ độ của vectơ biểu diễn độ dịch chuyển của chiếc máy bay trong nửa giờ đó đối với hệ toạ độ đã chọn, biết rằng đơn vị đo trong không gian Oxyz được lấy theo kilômét.

Hình/bảng: Hình 2.43: Hệ trục tọa độ Oxyz với trục Ox hướng Tây, Oy hướng Nam, Oz hướng lên trời. Có một máy bay đang bay.

Em có biết

Tên gọi “toạ độ Descartes” được lấy theo tên của nhà toán học người Pháp, René Descartes, nhằm ghi nhớ những đóng góp của ông trong Hình học Giải tích. Như đã biết, toạ độ Descartes xác định duy nhất vị trí của một điểm trong không gian.
Bên cạnh toạ độ Descartes, toạ độ cầu với vai trò tương tự cũng thường được sử dụng và được định nghĩa như sau: Với mỗi điểm M trong không gian Oxyz, gọi M' là hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng (Oxy). Gọi r là khoảng cách từ O đến M, gọi $θ$ ( $0 \leq θ < 2 π$ ) là số đo của góc lượng giác (trong mặt phẳng (Oxy)) có tia đầu là Ox, tia cuối là OM' và gọi $ϕ$ ( $0 \leq ϕ \leq π$ ) là số đo của góc tạo bởi tia OM và tia Oz (H.2.45). Bộ ba (r; $θ$ ; $ϕ$ ) được gọi là toạ độ cầu của điểm M, trong đó r là bán kính, $θ$ là góc phương vị hay góc kinh độ và $ϕ$ là góc cực của M.

Toạ độ cầu (r; $θ$ ; $ϕ$ ) và toạ độ Descartes (x; y; z) của M liên hệ với nhau qua các công thức:
${\begin{cases} r = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}} \\ \tan θ = \frac{y}{x} \\ \cos ϕ = \frac{z}{\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}} \end{cases}$ và ${\begin{cases} x = r \cos θ \sin ϕ \\ y = r \sin θ \sin ϕ \\ z = r \cos ϕ \end{cases}$ .
Trong một số trường hợp, người ta thay góc cực $ϕ$ bởi góc nâng (hay góc vĩ độ) $ψ = \frac{π}{2} - ϕ$ ( $- \frac{π}{2} \leq ψ \leq \frac{π}{2}$ ). Khi đó toạ độ cầu (r; $θ$ ; $ψ$ ) và toạ độ Descartes (x; y; z) cũng được liên hệ với nhau bởi các công thức tương tự như trên.
Toạ độ cầu thuận tiện cho việc tính toán trên mặt cầu và trên một số đối tượng có tính đối xứng, do đó, được sử dụng phổ biến trong toán học, vật lí, địa lí và thiên văn. Cơ quan Hàng không và Vũ trụ Hoa Kỳ NASA (National Aeronautics and Space Administration) sử dụng toạ độ địa hình (Topodetic coordinates), một dạng tương tự của toạ độ cầu, trong việc xác định vị trí của vật thể trong không gian.

Xem bản PDF nguyên trang sách: Toán 12 tập 1 – Kết nối tri thức với cuộc sống (trang 60–66).