Bài 2. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Giải
Tập xác định của hàm số là [-1; 1].
Cách 1. Sử dụng định nghĩa.
Ta có:
$f(x)=\sqrt{1-x^2}\ge 0;$ dấu bằng xảy ra khi $1-x^2=0,$ tức là khi $x=-1$ hoặc $x=1$.
Do đó ${\min }_{[-1;1]}f(x)=f(-1)=f(1)=0$.
$f(x)=\sqrt{1-x^2}\le 1;$ dấu bằng xảy ra khi $1-x^2=1,$ tức là khi $x=0$. Do đó ${\max }_{[-1;1]}f(x)=f(0)=1$.
Cách 2. Sử dụng bảng biến thiên.
Với $x\in (-1;1)$, ta có: $y^{\mathrm{\prime }}=\frac{(1-x^2{)}^{\mathrm{\prime }}}{2\sqrt{1-x^2}}=-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}};$ $y^{\mathrm{\prime }}=0\iff x=0$.
Lập bảng biến thiên của hàm số trên đoạn [-1; 1];
$\begin{array}{|c|cccc|}
\hline
x & -1 & & 0 & & 1 \\
\hline
y' & & + & 0 & - & \\
\hline
y & & & 1 & & \\
& 0 & \nearrow & & \searrow & 0 \\
\hline
\end{array}$
Từ bảng biến thiên, ta được: ${\min }_{[-1;1]}f(x)=f(-1)=f(1)=0;$ ${\max }_{[-1;1]}f(x)=f(0)=1$.

Giải
Ta có: $y^{\mathrm{\prime }}=1-\frac{1}{x^2};y^{\mathrm{\prime }}=0\iff x=1(v\grave{\text{ı}}x>0)\mathrm{.}$
Tính các giới hạn:
${\lim }_{x\to 0^{+}}y={\lim }_{x\to 0^{+}}(x-2+\frac{1}{x})=+\mathrm{\infty };$ ${\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}y={\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}(x-2+\frac{1}{x})=+\mathrm{\infty }\mathrm{.}$

Giải
Gọi $x$ (cm) là độ dài cạnh của các hình vuông nhỏ được cắt ở bốn góc của tấm bìa. Điều kiện: $0<x<30$. Khi cắt bỏ bốn hình vuông nhỏ có cạnh $x$ (cm) ở bốn góc và gập lên thì ta được một chiếc hộp chữ nhật không có nắp, có đáy là hình vuông với độ dài cạnh bằng $(60\text{–}2x)$ (cm) và chiều cao bằng $x$ (cm). Thể tích của chiếc hộp này là
$V(x)=(60-2x{)}^{2}x=4x^3-240x^2+3600x$ (cm${}^3$).
Ta có: $V^{\mathrm{\prime }}(x)=12x^2-480x+3600$; $V^{\mathrm{\prime }}(x)=0\iff x^2-40x+300=0\iff x=10$ (thoả mãn điều kiện) hoặc $x=30$ (loại).
Lập bảng biến thiên:
\begin{array}{|c|ccccc|}
\hline
x & 0 & & 10 & & 30 \\
\hline
V'(x) & & + & 0 & - & \\
\hline
V(x) & 0 & \nearrow & 16000 & \searrow & 0 \\
\hline
\end{array}
Vậy để thể tích của chiếc hộp là lớn nhất thì độ dài cạnh của các hình vuông nhỏ phải cắt là 10 cm.

Giải
Ta có: $y^{\mathrm{\prime }}=4x^3\text{–}8x=4x(x^2-2)$; $y^{\mathrm{\prime }}=0\iff x=0$ hoặc $x=\sqrt{2}$ (vì $x\in [0;4]$);
$y(0)=3$; $y(4)=195$; $y(\sqrt{2})=-1$.
Do đó: ${\max }_{[0;4]}y=y(4)=195$; ${\min }_{[0;4]}y=y(\sqrt{2})=-1$.

Giải
Ta có: $y^{\mathrm{\prime }}=\cos x-\sin x$; $y^{\mathrm{\prime }}=0\iff \cos x=\sin x\iff x=\frac{\pi }{4}$ hoặc $x=\frac{5\pi }{4}$ (vì $x\in [0;2\pi ]$);
$y(0)=1$; $y(2\pi )=1$; $y(\frac{\pi }{4})=\sqrt{2}$; $y(\frac{5\pi }{4})=-\sqrt{2}$.
Do đó: ${\max }_{[0;2\pi ]}y=y(\frac{\pi }{4})=\sqrt{2}$; ${\min }_{[0;2\pi ]}y=y(\frac{5\pi }{4})=-\sqrt{2}$.