Bài 4. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

Giải
1. Tập xác định của hàm số: $\mathbb{R}$.
2. Sự biến thiên:

• Ta có: $y^{\mathrm{\prime }}=-3x^2+6x$. Vậy $y^{\mathrm{\prime }}=0$ khi $x=0$ hoặc $x=2$.
• Trên khoảng $(0;2)$, $y^{\mathrm{\prime }}>0$ nên hàm số đồng biến. Trên các khoảng $(-\mathrm{\infty };0)$ và $(2;+\mathrm{\infty })$, $y^{\mathrm{\prime }}<0$ nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó.
• Hàm số đạt cực tiểu tại $x=0$, giá trị cực tiểu $y_{CT}=-4$. Hàm số đạt cực đại tại $x=2$, giá trị cực đại $y_{C\text{Đ}}=0$.
• Giới hạn tại vô cực: ${\lim }_{x\to -\mathrm{\infty }}y={\lim }_{x\to -\mathrm{\infty }}{x}^3(-1+\frac{3}{x}-\frac{4}{x^3})=+\mathrm{\infty }$; ${\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}y={\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}{x}^3(-1+\frac{3}{x}-\frac{4}{x^3})=-\mathrm{\infty }$.
• Bảng biến thiên:

\begin{array}{|c|ccccc|}
\hline
x & -\infty & & 0 & & 2 & & +\infty \\
\hline
y' & & - & 0 & + & 0 & - & \\
\hline
y & +\infty & \searrow & -4 & \nearrow & 0 & \searrow & -\infty \\
\hline
\end{array}
3. Đồ thị (H.1.28):

• Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm $(0;-4)$.

Ta có $y=0\iff -x^3+3x^2-4=0\iff -(x-2{)}^2(x+1)=0\iff x=-1$ hoặc $x=2$. Do đó giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là các điểm $(-1;0)$ và $(2;0)$.

• Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là điểm $(1;-2)$.

Giải
1. Tập xác định của hàm số: $\mathbb{R}$.
2. Sự biến thiên:
Ta có: $y^{\mathrm{\prime }}=3x^2-4x+2$. Vậy $y^{\mathrm{\prime }}>0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$.
Hàm số đồng biến trên khoảng $(-\mathrm{\infty };+\mathrm{\infty })$.
Hàm số không có cực trị.
Giới hạn tại vô cực: ${\lim }_{x\to -\mathrm{\infty }}y={\lim }_{x\to -\mathrm{\infty }}{x}^3(1-\frac{2}{x}+\frac{2}{x^2}-\frac{1}{x^3})=-\mathrm{\infty }$;
${\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}y={\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}{x}^3(1-\frac{2}{x}+\frac{2}{x^2}-\frac{1}{x^3})=+\mathrm{\infty }$.
Bảng biến thiên:
\begin{array}{|c|cc|}
\hline
x & -\infty & +\infty \\
\hline
y' & & + \\
\hline
y & -\infty \nearrow & +\infty \\
\hline
\end{array}
3. Đồ thị (H.1.29):

• Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm $(0;-1)$.
• Ta có $y=0\iff x^3-2x^2+2x-1=0\iff (x-1)(x^2-x+1)=0\iff x=1$.

Do đó giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là điểm $(1;0)$.

• Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là điểm $(\frac{2}{3};\frac{7}{27})$.

Giải
1. Tập xác định của hàm số: $\mathbb{R}\setminus \{2\}$.
2. Sự biến thiên:

• Ta có: $y^{\mathrm{\prime }}=-\frac{3}{(x-2{)}^2}<0$ với mọi $x\mathrm{\ne }2$.
• Hàm số nghịch biến trên từng khoảng $(-\mathrm{\infty };2)$ và $(2;+\mathrm{\infty })$.

Hàm số không có cực trị.

• Tiệm cận: ${\lim }_{x\to 2^{+}}y={\lim }_{x\to 2^{+}}\frac{x+1}{x-2}=+\mathrm{\infty }$; ${\lim }_{x\to 2^{-}}y={\lim }_{x\to 2^{-}}\frac{x+1}{x-2}=-\mathrm{\infty }$;

${\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}y={\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}\frac{x+1}{x-2}=1$; ${\lim }_{x\to -\mathrm{\infty }}y={\lim }_{x\to -\mathrm{\infty }}\frac{x+1}{x-2}=1$.
Do đó, đồ thị của hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng $x=2$, tiệm cận ngang là đường thẳng $y=1$.

• Bảng biến thiên:

\begin{array}{|c|cc||cc|}
\hline
x & -\infty & & 2 & & +\infty \\
\hline
y' & & - & \text{||} & - & \\
\hline
y & 1 & \searrow & +\infty & \text{||} & +\infty \searrow & 1 \\
\hline
\end{array}
3. Đồ thị (H.1.30):

• Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm $(0;-\frac{1}{2})$.
• Giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là điểm $(-1;0)$.
• Đồ thị hàm số nhận giao điểm $I(2;1)$ của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm trục đối xứng.

Giải
1. Tập xác định của hàm số: $\mathbb{R}\setminus \{2\}$.
2. Sự biến thiên: Viết $y=x+1+\frac{1}{x-2}$.

• Ta có: $y^{\mathrm{\prime }}=1-\frac{1}{(x-2{)}^2}=\frac{(x-2{)}^2-1}{(x-2{)}^2}=\frac{x^2-4x+3}{(x-2{)}^2}$. Vậy $y^{\mathrm{\prime }}=0\iff x^2-4x+3=0\iff x=1$ hoặc $x=3$.
• Trên các khoảng $(-\mathrm{\infty };1)$ và $(3;+\mathrm{\infty })$, $y^{\mathrm{\prime }}>0$ nên hàm số đồng biến trên từng khoảng này.

Trên các khoảng $(1;2)$ và $(2;3)$, $y^{\mathrm{\prime }}<0$ nên hàm số nghịch biến trên từng khoảng này.

• Hàm số đạt cực đại tại $x=1$ với $y_{C\text{Đ}}=1$; hàm số đạt cực tiểu tại $x=3$ với $y_{CT}=5$.

${\lim }_{x\to -\mathrm{\infty }}y={\lim }_{x\to -\mathrm{\infty }}\frac{x^2-x-1}{x-2}={\lim }_{x\to -\mathrm{\infty }}\frac{x(1-\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2})}{1-\frac{2}{x}}=-\mathrm{\infty }$; ${\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}y={\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}\frac{x^2-x-1}{x-2}={\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}\frac{x(1-\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2})}{1-\frac{2}{x}}=+\mathrm{\infty }$.

• Tiệm cận: ${\lim }_{x\to 2^{+}}y={\lim }_{x\to 2^{+}}(x+1+\frac{1}{x-2})=+\mathrm{\infty }$; ${\lim }_{x\to 2^{-}}y={\lim }_{x\to 2^{-}}(x+1+\frac{1}{x-2})=-\mathrm{\infty }$;

${\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}[y-(x+1)]={\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}\frac{1}{x-2}=0$; ${\lim }_{x\to -\mathrm{\infty }}[y-(x+1)]={\lim }_{x\to -\mathrm{\infty }}\frac{1}{x-2}=0$.
Do đó, đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng $x=2$, tiệm cận xiên là đường thẳng $y=x+1$.

• Bảng biến thiên:

\begin{array}{|c|ccccccc|}
\hline
x & -\infty & & 1 & & 2 & & 3 & & +\infty \\
\hline
y' & & + & 0 & - & \text{||} & - & 0 & + & \\
\hline
y & -\infty & \nearrow & 1 & \searrow & -\infty & \text{||} & +\infty & \searrow & 5 & \nearrow & +\infty \\
\hline
\end{array}
3. Đồ thị (H.1.31):

• Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm $(0;\frac{1}{2})$.

Giải
1. Tập xác định của hàm số: $\mathbb{R}\setminus \{-1\}$.
2. Sự biến thiên:

• Viết $y=x-\frac{2}{x+1}$. Ta có $y^{\mathrm{\prime }}=1+\frac{2}{(x+1{)}^2}>0$ với mọi $x\mathrm{\ne }-1$.
• Hàm số đồng biến trên từng khoảng $(-\mathrm{\infty };-1)$ và $(-1;+\mathrm{\infty })$.

Hàm số không có cực trị.
${\lim }_{x\to -\mathrm{\infty }}y={\lim }_{x\to -\mathrm{\infty }}\frac{x^2+x-2}{x+1}={\lim }_{x\to -\mathrm{\infty }}\frac{x(1+\frac{1}{x}-\frac{2}{x^2})}{1+\frac{1}{x}}=-\mathrm{\infty }$; ${\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}y={\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}\frac{x^2+x-2}{x+1}={\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}\frac{x(1+\frac{1}{x}-\frac{2}{x^2})}{1+\frac{1}{x}}=+\mathrm{\infty }$.

• Tiệm cận: ${\lim }_{x\to -1^{+}}y={\lim }_{x\to -1^{+}}(x-\frac{2}{x+1})=-\mathrm{\infty }$; ${\lim }_{x\to -1^{-}}y={\lim }_{x\to -1^{-}}(x-\frac{2}{x+1})=+\mathrm{\infty }$.

${\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}[y-x]={\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}(-\frac{2}{x+1})=0$; ${\lim }_{x\to -\mathrm{\infty }}[y-x]={\lim }_{x\to -\mathrm{\infty }}(-\frac{2}{x+1})=0$.
Do đó, đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng $x=-1$, tiệm cận xiên là đường thẳng $y=x$.

• Bảng biến thiên:

\begin{array}{|c|cc||cc|}
\hline
x & -\infty & & -1 & & +\infty \\
\hline
y' & & + & \text{||} & + & \\
\hline
y & -\infty & \nearrow & +\infty & \text{||} & -\infty \nearrow & +\infty \\
\hline
\end{array}
3. Đồ thị (H.1.32):

• Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm $(0;-2)$.
• Ta có $y=0\iff \frac{x^2+x-2}{x+1}=0\iff x=-2$ hoặc $x=1$.

Do đó giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là các điểm $(-2;0)$ và $(1;0)$.