Bài 1. Tính đơn điệu và cực trị của hàm số

Yêu cầu cần đạt

Nhận biết tính đồng biến, nghịch biến của một hàm số trên một khoảng dựa vào dấu đạo hàm cấp một của nó.
Thể hiện tính đồng biến, nghịch biến của hàm số trong bảng biến thiên.
Nhận biết tính đơn điệu của hàm số thông qua bảng biến thiên hoặc thông qua hình ảnh hình học của đồ thị hàm số.
Nhận biết điểm cực trị, giá trị cực trị của hàm số thông qua bảng biến thiên hoặc thông qua hình ảnh hình học của đồ thị hàm số.

Thuật ngữ: Bảng biến thiên · Đồng biến · Nghịch biến · Cực đại · Cực tiểu · Cực trị

1. Tính đơn điệu của hàm số

a) Khái niệm tính đơn điệu của hàm số

HĐ1

Dạng bài: Nhận biết tính đồng biến, nghịch biến của hàm số từ đồ thị

Nhận biết tính đồng biến, nghịch biến của hàm số
Quan sát đồ thị của hàm số $y = x^{2}$ (H.1.2).
a) Hàm số đồng biến trên khoảng nào?
b) Hàm số nghịch biến trên khoảng nào?

Hình/bảng: Đồ thị hàm số $y=x^2$ với trục x từ -3 đến 3 và trục y từ 1 đến 4. Đồ thị là một parabol mở lên trên, đỉnh tại (0,0).

Hình 1.2. Đồ thị hàm số

y = x^{2}

với trục x từ -3 đến 3 và trục y từ 1 đến 4. Đồ thị là một parabol mở lên trên, đỉnh tại (0,0).

Giả sử K là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng và $y = f (x)$ là hàm số xác định trên K.

Hàm số $y = f (x)$ được gọi là đồng biến trên K nếu $\forall x_{1}, x_{2} \in K, x_{1} < x_{2} \Rightarrow f (x_{1}) < f (x_{2}) .$
Hàm số $y = f (x)$ được gọi là nghịch biến trên K nếu $\forall x_{1}, x_{2} \in K, x_{1} < x_{2} \Rightarrow f (x_{1}) > f (x_{2}) .$

Chú ý

Nếu hàm số đồng biến trên K thì đồ thị của hàm số đi lên từ trái sang phải (H.1.3a).
Nếu hàm số nghịch biến trên K thì đồ thị của hàm số đi xuống từ trái sang phải (H.1.3b).

Hình 1.3. Hai đồ thị: a) Hàm số đồng biến trên (a; b), đồ thị đi lên từ trái sang phải. b) Hàm số nghịch biến trên (a; b), đồ thị đi xuống từ trái sang phải.

Hàm số đồng biến hay nghịch biến trên K còn được gọi chung là đơn điệu trên K. Việc tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số còn được gọi là tìm các khoảng đơn điệu (hay xét tính đơn điệu) của hàm số.
Khi xét tính đơn điệu của hàm số mà không chỉ rõ tập K thì ta hiểu là xét trên tập xác định của hàm số đó.

Ví dụ 1

Dạng bài: Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến từ đồ thị

Hình 1.4 là đồ thị của hàm số $y = f (x) = ∣ x ∣$ . Hãy tìm các khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của hàm số.

Hình/bảng: Đồ thị hàm số $y=|x|$ với trục x từ -2 đến 2 và trục y từ 1 đến 2. Đồ thị là hình chữ V, đỉnh tại (0,0).

Lời giải

Giải
Tập xác định của hàm số là $R$ .
Từ đồ thị suy ra: Hàm số đồng biến trên khoảng $(0; + \infty)$ , nghịch biến trên khoảng $(- \infty; 0) .$

Hình 1.4. Đồ thị hàm số

y = ∣ x ∣

với trục x từ -2 đến 2 và trục y từ 1 đến 2. Đồ thị là hình chữ V, đỉnh tại (0,0).

Luyện tập 1

Dạng bài: Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến từ đồ thị

Hình 1.5 là đồ thị của hàm số $y = x^{3} - 3 x^{2} + 2$ . Hãy tìm các khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của hàm số.

Hình/bảng: Đồ thị hàm số $y=x^3-3x^2+2$ với trục x từ -2 đến 2 và trục y từ -2 đến 2. Đồ thị có dạng chữ N, đi qua (0,2), (1,0), (2,-2).

Hình 1.5. Đồ thị hàm số

y = x^{3} - 3 x^{2} + 2

với trục x từ -2 đến 2 và trục y từ -2 đến 2. Đồ thị có dạng chữ N, đi qua (0,2), (1,0), (2,-2).

HĐ2

Dạng bài: Nhận biết mối quan hệ giữa tính đơn điệu và dấu của đạo hàm

Nhận biết mối quan hệ giữa tính đơn điệu và dấu của đạo hàm
Xét hàm số $y = {\begin{cases} - x & n \overline{\overset{ˊ}{\hat{e}} u} x < - 1 \\ 1 & n \overline{\overset{ˊ}{\hat{e}} u} - 1 \leq x \leq 1 \\ x & n \overline{\overset{ˊ}{\hat{e}} u} x > 1 \end{cases}$ có đồ thị như Hình 1.6.
a) Xét dấu đạo hàm của hàm số trên các khoảng $(- \infty; - 1)$ , $(1; + \infty)$ . Nêu nhận xét về mối quan hệ giữa tính đồng biến, nghịch biến và dấu đạo hàm của hàm số trên mỗi khoảng này.
b) Có nhận xét gì về đạo hàm $y^{'}$ và hàm số $y$ trên khoảng $(- 1; 1)$ ?

Hình/bảng: Đồ thị hàm số $y$ với 3 nhánh: $y=-x$ cho $x<-1$, $y=1$ cho $-1 \le x \le 1$, $y=x$ cho $x>1$. Trục x từ -3 đến 3, trục y từ 1 đến 3.

Hình 1.6. Đồ thị hàm số

y

với 3 nhánh:

y = - x

cho

x < - 1

y = 1

cho

- 1 \leq x \leq 1

y = x

cho

x > 1

. Trục x từ -3 đến 3, trục y từ 1 đến 3.

ĐỊNH LÍ

Cho hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm trên khoảng K.
a) Nếu $f^{'} (x) > 0$ với mọi $x \in K$ thì hàm số $f (x)$ đồng biến trên khoảng K.
b) Nếu $f^{'} (x) < 0$ với mọi $x \in K$ thì hàm số $f (x)$ nghịch biến trên khoảng K.

Chú ý

Định lí trên vẫn đúng trong trường hợp $f^{'} (x)$ bằng 0 tại một số hữu hạn điểm trong khoảng K.
Người ta chứng minh được rằng, nếu $f^{'} (x) = 0$ với mọi $x \in K$ thì hàm số $f (x)$ không đổi trên khoảng K.

Ví dụ 2

Dạng bài: Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến bằng đạo hàm

Tìm các khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của hàm số $y = x^{2} - 4 x + 2.$

Lời giải

Giải
Tập xác định của hàm số là $R$ .
Ta có: $y^{'} = 2 x - 4$ ; $y^{'} > 0$ với $x \in (2; + \infty)$ ; $y^{'} < 0$ với $x \in (- \infty; 2)$ .
Do đó, hàm số đồng biến trên khoảng $(2; + \infty)$ , nghịch biến trên khoảng $(- \infty; 2)$ .

Luyện tập 2

Dạng bài: Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến bằng đạo hàm

Tìm các khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của hàm số $y = - x^{2} + 2 x + 3.$

b) Sử dụng bảng biến thiên xét tính đơn điệu của hàm số

HĐ3

Dạng bài: Xét tính đơn điệu của hàm số bằng bảng biến thiên

Xét tính đơn điệu của hàm số bằng bảng biến thiên
Cho hàm số $y = f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 2 x + 1.$
a) Tính đạo hàm $f^{'} (x)$ và tìm các điểm x mà $f^{'} (x) = 0$ .
b) Lập bảng biến thiên của hàm số, tức là lập bảng thể hiện dấu của đạo hàm và sự đồng biến, nghịch biến của hàm số trên các khoảng tương ứng.
c) Nêu kết luận về khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Các bước để xét tính đơn điệu của hàm số $y = f (x)$ :
1. Tìm tập xác định của hàm số.
2. Tính đạo hàm $f^{'} (x)$ . Tìm các điểm $x_{i} (i = 1, 2, . . .)$ mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại.
3. Sắp xếp các điểm $x_{i}$ theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên của hàm số.
4. Nêu kết luận về khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Ví dụ 3

Dạng bài: Tìm khoảng đơn điệu của hàm số phân thức

Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số $y = \frac{x^{2} - 2 x + 5}{x - 1} .$

Lời giải

Giải
Tập xác định của hàm số là $R \ {1}$ .
Ta có: $y^{'} = \frac{(2 x - 2) (x - 1) - (x^{2} - 2 x + 5)}{{(x - 1)}^{2}} = \frac{x^{2} - 2 x - 3}{(x - 1)^{2}};$ $y^{'} = 0 \Leftrightarrow x = - 1$ hoặc $x = 3$ .
Lập bảng biến thiên của hàm số:
$\begin{array}{|c|ccccccc|}
\hline
x & -\infty & -1 & & 1 & & 3 & +\infty \\
\hline
y' & + & 0 & - & || & - & 0 & + \\
\hline
y & & 4 & & +\infty & & +\infty & \\
& \nearrow & & \searrow & & \searrow & & \nearrow \\
& -\infty & & & -\infty & & 8 & \\
\hline
\end{array}$
Từ bảng biến thiên, ta có:
Hàm số đồng biến trên các khoảng $(- \infty; - 1)$ và $(3; + \infty)$ .
Hàm số nghịch biến trên các khoảng $(- 1; 1)$ và $(1; 3) .$

Ví dụ 4

Dạng bài: Xét chiều biến thiên của hàm số phân thức

Xét chiều biến thiên của hàm số $y = \frac{x - 2}{x + 1} .$

Hình/bảng: Hình minh họa một robot đang suy nghĩ.

Lời giải

Giải
Tập xác định của hàm số là $R \ {- 1}$ .
Ta có: $y^{'} = \frac{(x + 1) - (x - 2)}{(x + 1)^{2}} = \frac{3}{(x + 1)^{2}} > 0,$ với mọi $x \neq - 1$ .
Lập bảng biến thiên của hàm số:
$\begin{array}{|c|ccc|}
\hline
x & -\infty & -1 & +\infty \\
\hline
y' & + & || & + \\
\hline
y & & +\infty & \\
& \nearrow & & \nearrow \\
& 1 & & 1 \\
\hline
\end{array}$
Từ bảng biến thiên, ta có: Hàm số đồng biến trên các khoảng $(- \infty; - 1)$ và $(- 1; + \infty)$ .

Việc tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số còn được nói gọn là xét chiều biến thiên của hàm số.

Luyện tập 3

Dạng bài: Tìm khoảng đơn điệu của hàm số

Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau:
a) $y = \frac{1}{3} x^{3} + 3 x^{2} + 5 x + 2;$
b) $y = \frac{- x^{2} + 5 x - 7}{x - 2} .$

Vận dụng 1

Dạng bài: Ứng dụng đạo hàm trong vật lí

Giải bài toán trong tình huống mở đầu bằng cách thực hiện lần lượt các yêu cầu sau:
a) Theo ý nghĩa cơ học của đạo hàm, vận tốc $v (t)$ là đạo hàm của $s (t)$ . Hãy tìm vận tốc $v (t)$ .
b) Xét dấu của hàm $v (t)$ , từ đó suy ra câu trả lời.

Hình/bảng: Hình minh họa một robot đang suy nghĩ với bong bóng thoại 'Chất điểm chuyển động theo chiều dương khi vận tốc $v(t)>0$.'

2. Cực trị của hàm số

a) Khái niệm cực trị của hàm số

HĐ4

Dạng bài: Nhận biết khái niệm cực đại, cực tiểu từ đồ thị và bảng biến thiên

Nhận biết khái niệm cực đại, cực tiểu của hàm số
Quan sát đồ thị của hàm số $y = x^{3} + 3 x^{2} - 4$ (H.1.7). Xét dấu đạo hàm của hàm số đã cho và hoàn thành các bảng sau vào vở:
$\begin{array}{|c|ccc|}
\hline
x & -3 & -2 & -1 \\
\hline
y' & ? & 0 & ? \\
\hline
y & & & \\
& & -2 & \\
\hline
\end{array}$
$\begin{array}{|c|ccc|}
\hline
x & -1 & 0 & 1 \\
\hline
y' & ? & 0 & ? \\
\hline
y & & & \\
& -2 & & \\
\hline
\end{array}$

Hình/bảng: Đồ thị hàm số $y=x^3+3x^2-4$ với trục x từ -3 đến 2 và trục y từ -4 đến 3. Đồ thị có hai điểm cực trị.

Hình 1.7. Đồ thị hàm số

y = x^{3} + 3 x^{2} - 4

với trục x từ -3 đến 2 và trục y từ -4 đến 3. Đồ thị có hai điểm cực trị.

Tổng quát, ta có định nghĩa sau:
Cho hàm số $y = f (x)$ xác định và liên tục trên khoảng $(a; b)$ (a có thể là $- \infty$ , b có thể là $+ \infty$ ) và điểm $x_{0} \in (a; b)$ .

Nếu tồn tại số $h > 0$ sao cho $f (x) < f (x_{0})$ với mọi $x \in (x_{0} - h; x_{0} + h) \subset (a; b)$ và $x \neq x_{0}$ thì ta nói hàm số $f (x)$ đạt cực đại tại $x_{0}$ .
Nếu tồn tại số $h > 0$ sao cho $f (x) > f (x_{0})$ với mọi $x \in (x_{0} - h; x_{0} + h) \subset (a; b)$ và $x \neq x_{0}$ thì ta nói hàm số $f (x)$ đạt cực tiểu tại $x_{0}$ .

Chú ý

Nếu hàm số $y = f (x)$ đạt cực đại tại $x_{0}$ thì $x_{0}$ được gọi là điểm cực đại của hàm số $f (x)$ . Khi đó, $f (x_{0})$ được gọi là giá trị cực đại của hàm số $f (x)$ và kí hiệu là $f_{C Đ}$ hay $y_{C Đ}$ . Điểm $M_{0} (x_{0}; f (x_{0}))$ được gọi là điểm cực đại của đồ thị hàm số.
Nếu hàm số $y = f (x)$ đạt cực tiểu tại $x_{0}$ thì $x_{0}$ được gọi là điểm cực tiểu của hàm số $f (x)$ . Khi đó, $f (x_{0})$ được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số $f (x)$ và kí hiệu là $f_{C T}$ hay $y_{C T}$ . Điểm $M_{0} (x_{0}; f (x_{0}))$ được gọi là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số.
Các điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là giá trị cực trị (hay cực trị) của hàm số.

Ví dụ 5

Dạng bài: Tìm cực trị từ đồ thị

Hình 1.8 là đồ thị của hàm số $y = f (x)$ . Hãy tìm các cực trị của hàm số.

Hình/bảng: Đồ thị hàm số $y=f(x)$ với trục x từ -3 đến 3 và trục y từ 1 đến 7. Đồ thị có hai điểm cực tiểu tại x=-1 và x=1, và một điểm cực đại tại x=0.

Lời giải

Giải
Từ đồ thị hàm số, ta có:
Hàm số đạt cực tiểu tại $x = - 1$ và $y_{C T} = y (- 1) = 2$ .
Hàm số đạt cực đại tại $x = 0$ và $y_{C Đ} = y (0) = 3$ .
Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 1$ và $y_{C T} = y (1) = 2$ .

Hình 1.8. Đồ thị hàm số

y = f (x)

với trục x từ -3 đến 3 và trục y từ 1 đến 7. Đồ thị có hai điểm cực tiểu tại x=-1 và x=1, và một điểm cực đại tại x=0.

Luyện tập 4

Dạng bài: Tìm cực trị từ đồ thị

Hình 1.9 là đồ thị của hàm số $y = f (x)$ . Hãy tìm các cực trị của hàm số.

Hình/bảng: Đồ thị hàm số $y=f(x)$ với trục x từ -3 đến 3 và trục y từ 1 đến 6. Đồ thị có hai điểm cực trị.

Hình 1.9. Đồ thị hàm số

y = f (x)

với trục x từ -3 đến 3 và trục y từ 1 đến 6. Đồ thị có hai điểm cực trị.

b) Cách tìm cực trị của hàm số

HĐ5

Dạng bài: Tìm cực trị của hàm số bằng đạo hàm và bảng biến thiên

Nhận biết cách tìm cực trị của hàm số
Cho hàm số $y = \frac{1}{3} x^{3} - 3 x^{2} + 8 x + 1.$
a) Tính đạo hàm $f^{'} (x)$ và tìm các điểm mà tại đó đạo hàm $f^{'} (x)$ bằng 0.
b) Lập bảng biến thiên của hàm số.
c) Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị của hàm số.

ĐỊNH LÍ

Giả sử hàm số $y = f (x)$ liên tục trên khoảng (a; b) chứa điểm $x_{0}$ và có đạo hàm trên các khoảng $(a; x_{0})$ và $(x_{0}; b)$ . Khi đó:
a) Nếu $f^{'} (x) < 0$ với mọi $x \in (a; x_{0})$ và $f^{'} (x) > 0$ với mọi $x \in (x_{0}; b)$ thì $x_{0}$ là một điểm cực tiểu của hàm số $f (x)$ .
b) Nếu $f^{'} (x) > 0$ với mọi $x \in (a; x_{0})$ và $f^{'} (x) < 0$ với mọi $x \in (x_{0}; b)$ thì $x_{0}$ là một điểm cực đại của hàm số $f (x)$ .

Giải thích vì sao nếu $f^{'} (x)$ không đổi dấu khi x qua $x_{0}$ thì $x_{0}$ không phải là điểm cực trị của hàm số $f (x)$ ?

Định lí trên được viết gọn lại trong hai bảng biến thiên sau:
$\begin{array}{|c|cccc|}
\hline
x & a & & x_{0} & & b \\
\hline
f'(x) & & - & 0 & + & \\
\hline
f(x) & & & f(x_{0}) & & \\
& \searrow & & \text{(Cực tiểu)} & \nearrow & \\
\hline
\end{array}$
$\begin{array}{|c|cccc|}
\hline
x & a & & x_{0} & & b \\
\hline
f'(x) & & + & 0 & - & \\
\hline
f(x) & & & f(x_{0}) & & \\
& \nearrow & & \text{(Cực đại)} & \searrow & \\
\hline
\end{array}$

Chú ý

Từ định lí trên ta có các bước tìm cực trị của hàm số $y = f (x)$ như sau:
1. Tìm tập xác định của hàm số.
2. Tính đạo hàm $f^{'} (x)$ . Tìm các điểm mà tại đó đạo hàm $f^{'} (x)$ bằng 0 hoặc đạo hàm không tồn tại.
3. Lập bảng biến thiên của hàm số.
4. Từ bảng biến thiên suy ra các cực trị của hàm số.

Ví dụ 6

Dạng bài: Tìm cực trị của hàm số bậc ba

Tìm cực trị của hàm số $y = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 30.$

Hình/bảng: Đồ thị hàm số $y=f(x)=x^3$ với trục x từ -2 đến 2 và trục y từ -1 đến 2. Đồ thị đi qua (0,0) và có dạng chữ S.

Lời giải

Giải
Tập xác định của hàm số là $R$ .
Ta có: $y^{'} = 3 x^{2} - 12 x + 9;$ $y^{'} = 0 \Leftrightarrow x = 1$ hoặc $x = 3$ .
Lập bảng biến thiên của hàm số:
$\begin{array}{|c|ccccccc|}
\hline
x & -\infty & & 1 & & 3 & & +\infty \\
\hline
y' & & + & 0 & - & 0 & + & \\
\hline
y & & & 34 & & & & +\infty \\
& -\infty & \nearrow & & \searrow & & \nearrow & \\
& & & & & 30 & & \\
\hline
\end{array}$
Từ bảng biến thiên, ta có:
Hàm số đạt cực đại tại $x = 1$ và $y_{C Đ} = y (1) = 34$ .
Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 3$ và $y_{C T} = y (3) = 30$ .

Chú ý

Nếu $f^{'} (x_{0}) = 0$ nhưng $f^{'} (x)$ không đổi dấu khi x qua $x_{0}$ thì $x_{0}$ không phải là điểm cực trị của hàm số. Chẳng hạn, hàm số $f (x) = x^{3}$ có $f^{'} (x) = 3 x^{2}$ , $f^{'} (0) = 0,$ nhưng $x = 0$ không phải là điểm cực trị của hàm số (H.1.10).

Hình 1.10. Đồ thị hàm số

y = f (x) = x^{3}

với trục x từ -2 đến 2 và trục y từ -1 đến 2. Đồ thị đi qua (0,0) và có dạng chữ S.

Ví dụ 7

Dạng bài: Tìm cực trị của hàm số phân thức

Tìm cực trị của hàm số $y = \frac{x^{2} - 2 x + 9}{x - 2} .$

Lời giải

Giải
Tập xác định của hàm số là $R \ {2}$ .
Ta có: $y^{'} = \frac{(2 x - 2) (x - 2) - (x^{2} - 2 x + 9)}{{(x - 2)}^{2}} = \frac{x^{2} - 4 x - 5}{(x - 2)^{2}};$ $y^{'} = 0 \Leftrightarrow x = - 1$ hoặc $x = 5$ .
Lập bảng biến thiên của hàm số:
$\begin{array}{|c|ccccccc|}
\hline
x & -\infty & -1 & & 2 & & 5 & +\infty \\
\hline
y' & + & 0 & - & || & - & 0 & + \\
\hline
y & & 4 & & +\infty & & +\infty & \\
& -\infty & \nearrow & & \searrow & & \searrow & \nearrow \\
& & & & -\infty & & 8 & \\
\hline
\end{array}$
Từ bảng biến thiên, ta có:
Hàm số đạt cực đại tại $x = - 1$ và $y_{C Đ} = y (- 1) = - 4$ .
Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 5$ và $y_{C T} = y (5) = 8$ .

Ví dụ 8

Dạng bài: Tìm cực trị của hàm số phân thức

Tìm cực trị của hàm số $y = \frac{x + 1}{x - 1} .$

Lời giải

Giải
Tập xác định của hàm số là $R \ {1}$ .
Ta có: $y^{'} = \frac{(x - 1) - (x + 1)}{{(x - 1)}^{2}} = \frac{- 2}{(x - 1)^{2}} < 0,$ với mọi $x \neq 1$ .
Lập bảng biến thiên của hàm số:
$\begin{array}{|c|ccc|}
\hline
x & -\infty & 1 & +\infty \\
\hline
y' & - & || & - \\
\hline
y & 1 & & +\infty \\
& & \searrow & \\
& & -\infty & 1 \\
\hline
\end{array}$
Từ bảng biến thiên suy ra hàm số không có cực trị.

Luyện tập 5

Dạng bài: Tìm cực trị của hàm số

Tìm cực trị của các hàm số sau:
a) $y = x^{4} - 3 x^{2} + 1;$
b) $y = \frac{- x^{2} + 2 x - 1}{x + 2} .$

Vận dụng 2

Dạng bài: Ứng dụng cực trị để giải bài toán thực tế

Một vật được phóng thẳng đứng lên trên từ độ cao 2 m với vận tốc ban đầu là $24, 5 m / s$ . Trong Vật lí, ta biết rằng khi bỏ qua sức cản của không khí thì độ cao h (mét) của vật sau t (giây) được cho bởi công thức
$h (t) = 2 + 24, 5 t - 4, 9 t^{2} .$
Hỏi tại thời điểm nào thì vật đạt độ cao lớn nhất?

Bài tập

1.1

Dạng bài: Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến từ đồ thị

Tìm các khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của các hàm số có đồ thị như sau:
a) Đồ thị hàm số $y = x^{3} - \frac{3}{2} x^{2}$ (H.1.11);
b) Đồ thị hàm số $y = \sqrt[3]{(x^{2} - 4)^{2}}$ (H.1.12).

Hình 1.11. Đồ thị hàm số

y = x^{3} - \frac{3}{2} x^{2}

với trục x từ -1 đến 2 và trục y từ -1 đến 2. Đồ thị có dạng chữ N.

Hình 1.12. Đồ thị hàm số

y = \sqrt[3]{(x^{2} - 4)^{2}}

với trục x từ -2 đến 3 và trục y từ 1 đến 3. Đồ thị đối xứng qua trục y, có hai điểm cực tiểu tại x=-2 và x=2, và một điểm cực đại tại x=0.

1.2

Dạng bài: Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau:
a) $y = \frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 3 x + 1;$
b) $y = - x^{3} + 2 x^{2} - 5 x + 3$ .

1.3

Dạng bài: Tìm khoảng đơn điệu của hàm số

Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau:
a) $y = \frac{2 x - 1}{x + 2};$
b) $y = \frac{x^{2} + x + 4}{x - 3} .$

1.4

Dạng bài: Xét chiều biến thiên của hàm số

Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:
a) $y = \sqrt{4 - x^{2}};$
b) $y = \frac{x}{x^{2} + 1} .$

1.5

Dạng bài: Ứng dụng đạo hàm để giải bài toán thực tế về dân số

Giả sử số dân của một thị trấn sau t năm kể từ năm 2000 được mô tả bởi hàm số
$N (t) = \frac{25 t + 10}{t + 5},$ $t \geq 0$ ,
trong đó $N (t)$ được tính bằng nghìn người.
a) Tính số dân của thị trấn đó vào các năm 2000 và 2015.
b) Tính đạo hàm $N^{'} (t)$ và $\lim_{t \to + \infty} N (t)$ . Từ đó, giải thích tại sao số dân của thị trấn đó luôn tăng nhưng sẽ không vượt quá một ngưỡng nào đó.

1.6

Dạng bài: Xác định tính đơn điệu và cực trị từ đồ thị đạo hàm

Đồ thị của đạo hàm bậc nhất $y = f^{'} (x)$ của hàm số $f (x)$ được cho trong Hình 1.13.
a) Hàm số $f (x)$ đồng biến trên những khoảng nào? Giải thích.
b) Tại giá trị nào của x thì $f (x)$ có cực đại hoặc cực tiểu? Giải thích.

Hình 1.13. Đồ thị của hàm số

y = f^{'} (x)

với trục x từ 0 đến 6 và trục y từ 0 đến 1. Đồ thị có dạng sóng, cắt trục x tại x=1, x=3, x=5.

1.7

Dạng bài: Tìm cực trị của hàm số

Tìm cực trị của các hàm số sau:
a) $y = 2 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x - 5;$
b) $y = x^{4} - 4 x^{2} + 2;$
c) $y = \frac{x^{2} - 2 x + 3}{x - 1};$
d) $y = \sqrt{4 x - 2 x^{2}}$ .

1.8

Dạng bài: Xác định đạo hàm và cực trị của hàm số chứa giá trị tuyệt đối

Cho hàm số $y = f (x) = ∣ x ∣$ .
a) Tính các giới hạn $\lim_{x \to 0^{+}} \frac{f (x) - f (0)}{x - 0}$ và $\lim_{x \to 0^{-}} \frac{f (x) - f (0)}{x - 0} .$
Từ đó suy ra hàm số không có đạo hàm tại $x = 0$ .
b) Sử dụng định nghĩa, chứng minh hàm số có cực tiểu tại $x = 0$ (xem Hình 1.4).

1.9

Dạng bài: Ứng dụng đạo hàm để giải bài toán thực tế về doanh số

Giả sử doanh số (tính bằng số sản phẩm) của một sản phẩm mới (trong vòng một số năm nhất định) tuân theo quy luật logistic được mô hình hoá bằng hàm số
$f (t) = \frac{5000}{1 + 5 e^{- t}},$ $t \geq 0$ ,
trong đó thời gian t được tính bằng năm, kể từ khi phát hành sản phẩm mới. Khi đó, đạo hàm $f^{'} (t)$ sẽ biểu thị tốc độ bán hàng. Hỏi sau khi phát hành bao nhiêu năm thì tốc độ bán hàng là lớn nhất?

Từ một tấm bìa carton hình vuông có độ dài cạnh bằng 60 cm, người ta cắt bốn hình vuông bằng nhau ở bốn góc rồi gập thành một chiếc hộp có dạng hình hộp chữ nhật không có nắp (H.1.14). Tính cạnh của các hình vuông bị cắt sao cho thể tích của chiếc hộp là lớn nhất.

Hình 1.14. Hình vẽ một tấm bìa hình vuông cạnh 60 cm, có 4 góc bị cắt hình vuông cạnh x, và hình hộp chữ nhật không nắp được tạo thành từ tấm bìa đó.

1. Định nghĩa

HĐ1

Nhận biết khái niệm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
Cho hàm số $y = f (x) = x^{2} - 2 x$ với $x \in [0; 3]$ , có đồ thị như Hình 1.15.
a) Giá trị lớn nhất $M$ của hàm số trên đoạn $[0; 3]$ là bao nhiêu? Tìm $x_{0}$ sao cho $f (x_{0}) = M$ .
b) Giá trị nhỏ nhất $m$ của hàm số trên đoạn $[0; 3]$ là bao nhiêu? Tìm $x_{0}$ sao cho $f (x_{0}) = m$ .

Hình 1.15. Đồ thị hàm số

y = x^{2} - 2 x

trên đoạn

[0; 3]

. Đồ thị có điểm thấp nhất tại

(1, - 1)

và điểm cao nhất tại

(3, 3)

Cho hàm số $y = f (x)$ xác định trên tập $D$ .
Số $M$ được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số $y = f (x)$ trên tập $D$ nếu $f (x) \leq M$ với mọi $x \in D$ và tồn tại $x_{0} \in D$ sao cho $f (x_{0}) = M$ .
Kí hiệu $M = \max f (x)$ hoặc $M = \max_{D} f (x)$ .
Số $m$ được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = f (x)$ trên tập $D$ nếu $f (x) \geq m$ với mọi $x \in D$ và tồn tại $x_{0} \in D$ sao cho $f (x_{0}) = m$ .
Kí hiệu $m = \min f (x)$ hoặc $m = \min_{D} f (x)$ .

Chú ý

Ta quy ước rằng khi nói giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $f (x)$ (mà không nói “trên tập $D$ ”) thì ta hiểu đó là giá trị lớn nhất hay giá trị nhỏ nhất của $f (x)$ trên tập xác định của hàm số.
Để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên tập $D$ , ta thường lập bảng biến thiên của hàm số trên tập $D$ để kết luận.

Ví dụ 1

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = f (x) = \sqrt{1 - x^{2}}$ .

Lời giải

Giải
Tập xác định của hàm số là $[- 1; 1]$ .
Cách 1. Sử dụng định nghĩa.
Ta có:
$f (x) = \sqrt{1 - x^{2}} \geq 0$ ; dấu bằng xảy ra khi $1 - x^{2} = 0$ , tức là khi $x = - 1$ hoặc $x = 1$ .
Do đó $\min_{[- 1; 1]} f (x) = f (- 1) = f (1) = 0$ .
$f (x) = \sqrt{1 - x^{2}} \leq 1$ ; dấu bằng xảy ra khi $1 - x^{2} = 1$ , tức là khi $x = 0$ . Do đó $\max_{[- 1; 1]} f (x) = f (0) = 1$ .
Cách 2. Sử dụng bảng biến thiên.
Với $x \in (- 1; 1)$ , ta có: $y^{'} = \frac{(1 - x^{2})^{'}}{2 \sqrt{1 - x^{2}}} = \frac{- 2 x}{2 \sqrt{1 - x^{2}}} = \frac{- x}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ ; $y^{'} = 0 \Leftrightarrow x = 0$ .
Lập bảng biến thiên của hàm số trên đoạn $[- 1; 1]$ :
\begin{array}{|c|ccccc|}
\hline
x & -1 & & 0 & & 1 \\
\hline
y' & & + & 0 & - & \\
\hline
y & 0 & & 1 & & 0 \\
& & \nearrow & & \searrow & \\
\hline
\end{array}
Từ bảng biến thiên, ta được: $\min_{[- 1; 1]} f (x) = f (- 1) = f (1) = 0$ ; $\max_{[- 1; 1]} f (x) = f (0) = 1$ .

Chú ý

Trong thực hành, ta cũng dùng các kí hiệu $\min y$ , $\max y$ để chỉ giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất (nếu có) của hàm số $y = f (x)$ trên tập $D$ . Do đó, trong Ví dụ 1 ta có thể viết:
$\min_{[- 1; 1]} y = y (- 1) = y (1) = 0$ ; $\max_{[- 1; 1]} y = y (0) = 1$ .

Xem bản PDF nguyên trang sách: Toán 12 tập 1 – Kết nối tri thức với cuộc sống (trang 7–16).