Bài tập cuối chương V – Toán 11 tập 1 Kết nối tri thức

A - trắc nghiệm

5.18

Dạng bài: Tính giới hạn dãy số

Cho dãy số $(u_{n})$ với $u_{n} = \sqrt{n^{2} + 1} - \sqrt{n}$ . Mệnh đề đúng là A. $\lim_{n \to + \infty} u_{n} = - \infty .$ B. $\lim_{n \to + \infty} u_{n} = 1.$ C. $\lim_{n \to + \infty} u_{n} = + \infty .$ D. $\lim_{n \to + \infty} u_{n} = 0.$

5.19

Dạng bài: Tính giới hạn dãy số

Cho $u_{n} = \frac{2 + 2^{2} + . . . + 2^{n}}{2^{n}} .$ Giới hạn của dãy số $(u_{n})$ bằng A. 1. B. 2. C.-1. D. 0.

5.20

Dạng bài: Tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn

Cho cấp số nhân lùi vô hạn $(u_{n})$ với $u_{n} = \frac{2}{3^{n}} .$ Tồng của cấp số nhân này bằng A. 3. B. 2. C. 1. D. 6.

5.21

Dạng bài: Tính giới hạn hàm số tại vô cực

Cho hàm số $f (x) = \sqrt{x + 1} - \sqrt{x + 2}$ Mệnh đề đúng là A. $\lim_{x \to + \infty} f (x) = - \infty$ B. $\lim_{x \to + \infty} f (x) = 0$ . C. $\lim_{x \to + \infty} f (x) = - 1$ . D. $\lim_{x \to + \infty} f (x) = - \frac{1}{2} .$

5.22

Dạng bài: Tính giới hạn một bên

Cho hàm số $f (x) = \frac{x - x^{2}}{∣ x ∣^{-}} .$ Khi đó $\lim_{x \to 0^{+}} f (x)$ bằng A. 0. B. 1. C. $+ \emptyset D .$ D.-1.

5.23

Dạng bài: Tìm khoảng liên tục của hàm số

Cho hàm số $f (x) = \frac{x + 1}{∣ x + 1 ∣} .$ Hàm số $f (x)$ liên tục trên A. $(- \infty; + \infty)$ B. $(- \infty; - 1]$ . C. $(- \infty; - 1) \cup (- 1; + \infty)$ . D. $[- 1; + \infty)$ .

5.24

Dạng bài: Tìm tham số để hàm số liên tục

Cho hàm số $f (x) = {\begin{cases} \frac{x^{2} + x - 2}{x - 1} n \tilde{θ} u x \neq 1 \\ a & n \tilde{θ} u x = 1 \end{cases} .$ Hàm số $f (x)$ liên tục tại $x = 1 k h i$ A. $a = 0$ . B. $a = 3$ . C. $a = - 1.$ D. $a = 1.$

B - tự luận

5.25

Dạng bài: Xét giới hạn dãy số

Cho dãy số $(u_{n})$ có tính chất $∣ u_{n} - 1 ∣ < \frac{2}{n} .$ Có kết luận gì về giới hạn của dãy số này?

5.26

Dạng bài: Tính giới hạn dãy số

Tìm giới hạn của các dãy số sau: a) $u_{n} = \frac{n^{2}}{3 n^{2} + 7 n - 2};$ b) $v_{n} = \sum_{k = 0}^{n} \frac{3^{k} + 5^{k}}{6^{k}};$ c) $W_{n} = \frac{\sin n}{4 n} .$

5.27

Dạng bài: Chuyển số thập phân tuần hoàn sang phân số

Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau đây dưới dạng phân số. a) 1,(01); b) 5,(132).

5.28

Dạng bài: Tính giới hạn hàm số

Tính các giới hạn sau: a) $\lim_{x \to 7} \frac{\sqrt{x + 2} - 3}{x - 7};$ b) $\lim_{x \to 1} \frac{x^{3} - 1}{x^{2} - 1};$ c) $\lim_{x \to 1} \frac{2 - x}{(1 - x)^{2}};$ d) $\lim_{x \to - \infty} \frac{x + 2}{\sqrt{4 x^{2} + 1}} .$

5.29

Dạng bài: Tính giới hạn một bên

Tính các giới hạn một bên: a) $\lim_{x \to 3^{+}} \frac{x^{2} - 9}{∣ x - 3 ∣};$ b) $\lim_{x \to T} \frac{x}{\sqrt{1 - x}}$

5.30

Dạng bài: Chứng minh giới hạn không tồn tại

Chứng minh rằng giới hạn $\lim_{x \to 0} \frac{∣ x ∣}{x}$ không tồn tại.

5.31

Dạng bài: Giải thích sự gián đoạn của hàm số

Giải thích tại sao các hàm số sau đây gián đoạn tại điểm đã cho. a) $f (x) = {\begin{cases} \frac{1}{x} n \hat{e} u x \neq 0 \\ 1 & n \hat{e} u x = 0 \end{cases}$ tại điểm $x = 0$ ; b) $g (x) = {\begin{cases} 1 + x & n \hat{e} u & x < 1 \\ 2 - x & n \hat{e} u & x \geq 1 \end{cases}$ tại điểm $x = 1$

5.32

Dạng bài: Xét tính liên tục của hàm số trong vật lí

Lực hấp dẫn tác dụng lên một đơn vị khối lượng ở khoảng cách r tính từ tâm Trái Đất là $F (r) = {\begin{cases} \frac{G M r}{R^{3}} n \overline{e} u r < R \\ \frac{G M}{r^{2}} n \overline{e} u r \geq R, \end{cases}$ trong đó M và R lần lượt là khối lượng và bán kính của Trái Đất, G là hằng số hấp dẫn. Xét tính liên tục của hàm số $F (r)$ .

5.33

Dạng bài: Tìm tập xác định và khoảng liên tục

Tìm tập xác định của các hàm số sau và giải thích tại sao các hàm này liên tục trên các khoảng xác định của chúng. a) $f (x) = \frac{\cos x}{x^{2} + 5 x + 6}$ b) $g (x) = \frac{x - 2}{\sin x}$

5.34

Dạng bài: Tìm tham số để hàm số liên tục trên R

Tìm các giá trị của a đề hàm số $f (x) = {\begin{cases} x + 1 n \hat{e} u x \leq a \\ x^{2} & n \hat{e} u x > a \end{cases}$ liên tục trên R.

MỤC TIÊU

Học sinh biết vận dụng toán học để giải quyết một số vấn đề tài chính như bài toán gửi tiết kiệm tích luỹ, bài toán vay trả góp.

Chuẩn bị:

Bảng lãi suất gửi tiết kiệm tích luỹ của một số ngân hàng: Bảng lãi suất vay trả góp (khi mua nhà, ô tô, ...) của một số ngân hàng; Máy tính cầm tay.

Thực hiện: Chia lớp làm bốn nhóm và tiến hành như sau:

Bước 1. Các nhóm cùng thực hiện HĐ1, HĐ2, HĐ3 trong bài học, dưới sự hướng dẫn của giáo viên, để hiều các khái niệm và công thức cần thiết. Bước 2. Dựa vào dữ liệu đã có ở phần Chuẩn bị và gợi ý trong các Vận dụng trong bài học, GV đặt ra nhiệm vụ thực tế cụ thể cho từng nhóm. Mỗi nhóm sẽ thực hiện một nhiệm vụ riêng. Các nhóm hoàn thành nhiệm vụ được giao, sau đó báo cáo trước lớp.

Nhiều giao dịch tài chính như gửi tiết kiệm tích luỹ, vay trả góp.... liên quan đến các khoản thanh toán được thực hiện đều đặn. Ví dụ, nếu gửi đều đặn 5 triệu đồng mỗi tháng vào một tài khoản tích luỹ có lãi suất 6% một năm, thì giá trị tài khoản của bạn sẽ là bao nhiêu vào cuối năm thứ 5? Nếu vay 1 tỉ đồng để mua nhà với lãi suất 9% một năm, thì số tiền bạn phải trả hằng tháng là bao nhiêu để có thể trả hết khoản vay này trong 10 năm?

Hình ảnh minh họa thanh toán hàng tháng (MONTHLY PAYMENT) và biểu tượng thanh toán (PAY) trên điện thoại.

Những câu hỏi như vậy liên quan đến tổng các số hạng của một dãy số. Trong bài này, chúng ta sẽ sử dụng kiến thức về công thức lãi kép và cấp số nhân để trả lời những câu hỏi này.

1. Số tiền của một niên kim

Niên kim là một khoản tiền được trả bằng các khoản thanh toán đều đặn. Mặc dù từ "niên kim" nghĩa là các khoản thanh toán hằng năm, thực tế chúng có thể được thực hiện thanh toán nửa năm, hằng quý, hằng tháng hoặc sau những khoảng thời gian đều đặn khác. Thanh toán thường được thực hiện vào cuối khoảng thời gian thanh toán. Số tiền của một niên kim là tổng của tất cả các khoản thanh toán riêng lẻ từ thời điểm thanh toán đầu tiên cho đến khi thanh toán cuối cùng được thực hiện, cùng với tất cả tiền lãi.

HĐ1

Số tiền của một niên kim Bác Lan gửi đều đặn 10 triệu đồng vào ngày đầu mỗi tháng trong vòng 5 năm vào một tài khoản tích luỹ hưởng lãi suất 6% mỗi năm, theo hình thức tính lãi kép hằng tháng. a) Tính số tiền có trong tài khoản vào cuối kì thứ nhất, cuối kì thứ hai. b) Tính số tiền có trong tài khoản vào cuối kì thứ n. c) Tính số tiền có trong tài khoản ngay sau lần thanh toán cuối cùng.

Nói chung, khoản thanh toán theo niên kim được gọi là tiền thuê định kì và kí hiệu là R. Gọi i là lãi suất trong mỗi khoảng thời gian thanh toán và gọi n là số lần trả. Chúng ta luôn giả thiết rằng khoảng thời gian tính lãi kép bằng thời gian giữa các lần thanh toán. Bằng cách lập luận tương tự như trong HĐ1, chúng ta thấy rằng số tiền A, của một niên kim là $A_{f} = R + R (1 + i) + R (1 + i)^{2} + . . . + R (1 + i)^{n - 1} .$ Vì đây là tổng của n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân với số hạng đầu tiên $a = R$ và công bội $r = 1 + i,$ nên ta có

Số tiền của niên kim Số tiền $A_{f}$ của một niên kim bao gồm n khoản thanh toán đều đặn bằng nhau và bằng R với lãi suất i trong mỗi khoảng thời gian được cho bởi $A_{f} = R \frac{(1 + i)^{n} - 1}{i}$

Vận dụng 1

Dạng bài: Tính số tiền niên kim

Anh Bình cần đầu tư bao nhiêu tiền hằng tháng với lãi suất 9% mỗi năm, theo hình thức tính lãi kép hằng tháng, để có 200 triệu đồng sau hai năm?

2. Giá trị hiện tại của một niên kim

Nếu bạn nhận được 100 triệu đồng trong vòng 5 năm kể từ bây giờ, nó sẽ có giá trị thấp hơn nhiều so với việc nếu bạn nhận được 100 triệu đồng ngay bây giờ. Điều này là do số tiền lãi mà bạn có thể tích lũy trong 5 năm tới nếu bạn đầu tư số tiền đó ngay bây giờ. Bạn sẽ chấp nhận số tiền nhỏ hơn nào bây giờ thay vì việc nhận 100 triệu đồng trong 5 năm tới? Đây là số tiền, cùng với tiền lãi, sẽ trị giá 100 triệu đồng trong 5 năm tới. Số tiền này được gọi là giá trị hiện tại.

HĐ2

Nhận biết giá trị hiện tại của một số tiền Giả sử một người gửi tiết kiệm với lãi suất không đổi 6% một năm, theo hình thức tính lãi kép hằng quý. a) Tính lãi suất trong mỗi quý và số khoảng thời gian tính lãi trong vòng 5 năm. b) Giả sử sau 5 năm người đó nhận được số tiền 100 triệu đồng cả vốn lẫn lãi. Tính giá trị hiện tại của số tiền 100 triệu đồng đó.

Tương tự, nếu số tiền A, được trả dần trong n khoảng thời gian kể từ bây giờ và lãi suất trong mỗi khoảng thời gian là i, thì giá trị hiện tại $A_{p}$ của nó được cho bởi $A_{p} = A_{f} (1 + i)^{- n} = R \frac{(1 + i)^{n} - 1}{i} (1 + i)^{- n} = \frac{1 - (1 + i)^{- n}}{i}$

Giá trị hiện tại của một niên kim Giá trị hiện tại của một niên kim bao gồm n khoản thanh toán đều đặn bằng nhau và bằng R với lãi suất i trong mỗi khoảng thời gian được cho bởi $A_{ρ} = R \frac{1 - (1 + i)^{- n}}{i}$

Vận dụng 2

Dạng bài: Tính giá trị hiện tại của niên kim

Một người trúng xổ số giải đặc biệt với trị giá 5 tỉ đồng và số tiền trúng thưởng sẽ được trả dần hằng năm, mỗi năm là 500 triệu đồng trong vòng 10 năm. Giá trị hiện tại của giải đặc biệt này là bao nhiêu? Giả sử rằng người đó có thể tìm được hình thức đầu tư với lãi suất 8% mỗi năm, tính lãi kép hằng năm.

3. Mua trả góp

Khi bạn mua một căn nhà hoặc một chiếc xe ô tô theo hình thức trả góp, các khoản thanh toán mà bạn thực hiện là một khoản niên kim có giá trị hiện tại là số tiền của khoản vay.

HĐ3

Anh Hưng muốn mua một chiếc xe ô tô theo hình thức trả góp để chạy xe dịch vụ. Anh ấy có thể trả dần 10 triệu đồng mỗi tháng nhưng không có tiền trả trước. Nếu anh Hưng có thể thực hiện các khoản thanh toán này trong vòng 5 năm và lãi suất là 10% một năm, thì hiện tại anh ấy có thể mua được chiếc xe ô tô với mức giá nào?

Hình/bảng: Hình ảnh minh họa robot đang suy nghĩ.

Trả góp là phương thức cho vay tiền mà các kì trả nợ gốc và lãi trùng nhau. Số tiền trả nợ của mỗi kì là bằng nhau theo thoả thuận và số lãi được tính dựa trên số dư nợ gốc và thời hạn thực tế của kì hạn trả nợ. Trả góp còn áp dụng trong việc cho vay tiêu dùng, mua tài sản giá trị lớn như nhà đất, ô tô, ...

Hình ảnh minh họa robot đang suy nghĩ.

Mua trả góp Nếu một khoản vay $A_{p}$ phải được hoàn trả trong n lần thanh toán đều đặn bằng nhau với lãi suất i trong mỗi khoảng thời gian thì số tiền R của mỗi khoản thanh toán là $R = \frac{i A_{p}}{1 - (1 + i)^{- n}} .$

Vận dụng 3

Dạng bài: Tính số tiền trả góp hàng tháng

Một cặp vợ chồng trẻ vay ngân hàng 1 tỉ đồng với lãi suất 9% một năm để mua nhà. Họ dự định sẽ trả góp hằng tháng trong vòng 10 năm để hoàn trả khoản vay này. Hỏi mỗi tháng họ sẽ phải trả cho ngân hàng bao nhiêu tiền?

MỤC TIÊU

Học sinh biết thực hiện thí nghiệm để thu thập dữ liệu, biết sử dụng những số đặc trưng của số liệu ghép nhóm để so sánh kết quả và rút ra một số kết luận.

Nước cũng như các chất lỏng đều có lực căng bề mặt hình thành do sự tương tác giữa các phân tử của chất lỏng. Sẽ rất khó để thổi bong bóng từ nước do lực căng bề mặt của nước lớn. Tuy nhiên, nếu pha thêm xà phòng vào nước việc này sẽ được thực hiện do xà phòng làm giảm lực này của nước. Lực càng yếu bong bóng càng lớn. Trong bài trải nghiệm này chúng ta sẽ xem xét ảnh hưởng của nhiệt độ tới lực căng mặt ngoài của nước xà phòng thông qua việc so sánh đường kính bong bóng thổi từ dung dịch xà phòng ở nhiệt độ khác nhau.

Hình ảnh các bong bóng xà phòng nổi trên mặt nước.

HĐ1

Thu thập dữ liệu Chuẩn bị: Nước, nước nóng Xà phòng Nhiệt kế Cốc, thìa, ống hút Giấy bóng kính, giấy có đường kẻ chia centimét Bút, giay giấy. Thực hiện: . Nhóm 1: Bước 1. Pha xà phòng vào nước ở nhiệt độ phòng Bước 2. Đặt tờ giấy kẻ ô li xuống dưới tấm nhựa Bước 3. Dùng thìa múc một lượng nước xà phòng đồ lên trên tấm nhựa Bước 4. Dùng ống hút thổi bóng đến khi bóng vỡ Bước 5. Xác định đường kính bong bóng Bước 6. Lưu kết quả đo vào bảng theo mẫu sau:

Hình/bảng: Hình ảnh một bàn tay đang cầm thước đo trên một tờ giấy kẻ ô li.

Bảng 1

Nhóm 1 \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Đường kính} & & & & & & & & & & \\ \text{bong bóng} & \text{[2; 4)} & \text{[4; 6)} & \text{[6; 8)} & \text{[8; 10)} & \text{[10; 12)} & \text{[12; 14)} & \text{[14; 16)} & \text{[16; 18)} & \text{[18; 20)} & \text{[20; 22]} \\ \text{(cm)} & & & & & & & & & & \\ \hline \text{Kết quả} & / & / / / & & & & & & & & \\ \text{(đánh dấu /)} & & & & & & & & & & \\ \hline \end{array} Kết quả thi nghiệm trên nước xà phòng ở nhiệt độ phòng

Nhóm 2: Thực hiện tương tự với nước nóng $(70^{\circ} C - 80^{\circ} C)$ .

HĐ2

Lập bảng tần số ghép nhóm cho kết quả thi nghiệm thu được ở hai nhóm theo mẫu sau: \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Đường kính} & & & & & & & & & & \\ \text{bong bóng} & \text{[2; 4)} & \text{[4; 6)} & \text{[6; 8)} & \text{[8; 10)} & \text{[10; 12)} & \text{[12; 14)} & \text{[14; 16)} & \text{[16; 18)} & \text{[18; 20)} & \text{[20; 22]} \\ \text{(cm)} & & & & & & & & & & \\ \hline \text{Nhóm} & & & & & & & & & & \\ \text{1} & & & & & & & & & & \\ \text{Tần số} & & & & & & & & & & \\ \text{Nhóm} & & & & & & & & & & \\ \text{2} & & & & & & & & & & \\ \hline \end{array} Bảng 2. Bảng tần số ghép nhóm cho dữ liệu đường kinh bong bóng

HĐ3

Dựa vào Bảng 2, hãy tính và so sánh số trung bình, trung vị, mốt của mẫu dữ liệu thu được về đường kính bong bóng của mỗi nhóm.

HĐ4

Các bạn học sinh lớp 11B đã thực hiện thí nghiệm và thu được bảng kết quả sau: \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline & \text{[4; 6)} & \text{[6; 8)} & \text{[8; 10)} & \text{[10; 12)} & \text{[12; 14)} & \text{[14; 16)} & \text{[16; 18)} & \text{[18; 20]} \\ \hline \text{Nhóm 2} & & & / & / / & / & / / / / / & / / / / / & / / \\ \hline \text{Nhóm 1} & / & / & / / / / / & / / / / & / / / / & & & \\ & & & / / / / & & & & & \\ \hline \end{array} a) Hãy thực hiện HĐ2 và HĐ3 dựa vào bảng kết quả thí nghiệm trên. Từ đó rút ra kết luận về ảnh hưởng của nhiệt độ lên sức căng bề mặt của nước xà phòng. b) Tại sao giặt quần áo bằng nước ấm (với nhiệt độ thích hợp với chất liệu vải) sẽ làm sạch dễ dàng và nhanh chóng hơn?

Mục tiêu

Trong bài trải nghiệm này chúng ta sẽ xem xét ảnh hưởng của nhiệt độ tới lực căng mặt ngoài của nước xà phòng thông qua việc so sánh đường kính bong bóng thổi từ dung dịch xà phòng ở nhiệt độ khác nhau.

HĐ1

HĐ1. Thu thập dữ liệu
Chuẩn bị:

Nước, nước nóng
Xà phòng
Nhiệt kế
Cốc, thìa, ống hút
Giấy bóng kính, giấy có đường kẻ chia centimét
Bút, giấy.

HĐ1

Thực hiện:
Nhóm 1:
Bước 1. Pha xà phòng vào nước ở nhiệt độ phòng
Bước 2. Đặt tờ giấy kẻ ô li xuống dưới tấm nhựa
Bước 3. Dùng thìa múc một lượng nước xà phòng đổ lên trên tấm nhựa
Bước 4. Dùng ống hút thổi bóng đến khi bóng vỡ
Bước 5. Xác định đường kính bong bóng
Bước 6. Lưu kết quả đo vào bảng theo mẫu sau:

Bảng 1

Nhóm 1
Đường kính
bong bóng [2; 4) [4; 6) [6; 8) [8; 10) [10; 12) [12; 14) [14; 16) [16; 18) [18; 20) [20; 22]
(cm)
Kết quả
(đánh dấu /) /
///
Bảng 1. Kết quả thi nghiệm trên nước xà phòng ở nhiệt độ phòng

Nhóm 2: Thực hiện tương tự với nước nóng (70° C – 80° C).

HĐ2

HĐ2. Lập bảng tần số ghép nhóm cho kết quả thí nghiệm thu được ở hai nhóm theo mẫu sau:
Đường kính
bong bóng [2; 4) [4; 6) [6; 8) [8; 10) [10; 12) [12; 14) [14; 16) [16; 18) [18; 20) [20; 22]
(cm)
Nhóm
1
Tần số
Nhóm
2
Bảng 2. Bảng tần số ghép nhóm cho dữ liệu đường kính bong bóng

HĐ3

HĐ3. Dựa vào Bảng 2, hãy tính và so sánh số trung bình, trung vị, mốt của mẫu dữ liệu thu được về đường kính bong bóng của mỗi nhóm.

HĐ4

HĐ4. Các bạn học sinh lớp 11B đã thực hiện thí nghiệm và thu được bảng kết quả sau:
Đường kính bong bóng (cm)
[4; 6) [6; 8) [8; 10) [10; 12) [12; 14) [14; 16) [16; 18) [18; 20]
Nhóm 2 / // / ///// /// ///// // /// ///// /////
Nhóm 1 / / //// //// / //// ////
a) Hãy thực hiện HĐ2 và HĐ3 dựa vào bảng kết quả thí nghiệm trên. Từ đó rút ra kết luận về ảnh hưởng của nhiệt độ lên sức căng bề mặt của nước xà phòng.
b) Tại sao giặt quần áo bằng nước ấm (với nhiệt độ thích hợp với chất liệu vải) sẽ làm sạch dễ dàng và nhanh chóng hơn?

Xem bản PDF nguyên trang sách: Toán 11 tập 1 – Kết nối tri thức với cuộc sống (trang 123–129).