Bài 17. Hàm số liên tục – Toán 11 tập 1 Kết nối tri thức

Yêu cầu cần đạt

Nhận dạng hàm số liên tục tại một điểm, hoặc trên một khoảng, trên một đoạn.
Nhận dạng tính liên tục của tổng, hiệu, tích, thương của hai hàm số liên tục.
Nhận biết tính liên tục của một số hàm sơ cấp cơ bản trên tập xác định của chúng.

Thuật ngữ: Hàm số liên tục tại một điểm · Hàm số gián đoạn · Hàm số liên tục trên một khoảng · Hàm số liên tục trên một đoạn

Một người lái xe từ địa điểm A đến địa điểm B trong thời gian 3 giờ. Biết quãng đường từ A đến B dài 180 km. Chứng tỏ rằng có ít nhất một thời điểm trên hành trình, xe chạy với vận tốc 60 km/h.

Hình ảnh minh họa công thức vận tốc: Vận tốc = Quãng đường / Thời gian. Có mũi tên chỉ quãng đường.

1. Hàm số liên tục tại một điểm

HĐ1

Nhận biết tính liên tục của hàm số tại một điểm Cho hàm số $f (x) = {\begin{cases} \frac{x^{2} - 1}{x - 1} n \hat{e} u x \neq 1 \\ 2 & n \hat{e} u x = 1. \end{cases}$ Tính giới hạn $\lim_{x \to 1} f (x)$ và so sánh giá trị này với $f (1)$ .

Cho hàm số $y = f (x)$ xác định trên khoảng (a; b) chứa điềm $x_{0} .$ Hàm số $f (x)$ được gọi là liên tục tại điềm $x_{0}$ nếu $\lim_{x \to x_{0}} f (x) = f (x_{0})$ .

Hàm số $f (x)$ không liên tục tại $x_{0}$ được gọi là gián đoạn tại điểm đó.

Ví dụ 1

Dạng bài: Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm

Xét tính liên tục của hàm số $f (x) = \frac{x + 1}{x - 1}$ tại điểm $x_{0} = 2$ . Giải Rõ ràng hàm số $f (x)$ xác định trên IR \ {1}, do đó $x_{0} = 2$ thuộc tập xác định của hàm số. Ta có $\lim_{x \to 2} f (x) = \lim_{x \to 2} \frac{x + 1}{x - 1} = 3 = f (2) .$ Vậy hàm số $f (x)$ liên tục tại $x_{0} = 2$ .

Ví dụ 2

Dạng bài: Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm

Xét tính liên tục của hàm dầu $s (x) = \begin{array}{cc} 1 & n \hat{θ} u x > 0 \\ 0 & n \hat{θ} u x = 0 t \\ - 1 & n \hat{θ} u x < 0 \end{array}$ tại điểm $x_{0} = 0$ . Giải Ta thấy $\lim_{x \to 0^{+}} s (x) = 1$ , $\lim_{x \to 0^{-}} s (x) = - 1.$ Do đó không tồn tại giới hạn $\lim_{x \to 0} s (x)$ Vậy hàm số này gián đoạn tại 0.

Hàm số $f (x)$ liên tục tại $x_{D}$ khi và chỉ khi $\lim_{x \to x_{0}^{\circ}} f (x) = \lim_{x \to x_{0}} f (x) = f (x_{0}) .$

Luyện tập 1

Dạng bài: Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm

Xét tính liên tục của hàm số $\overline{f} (x) = {\begin{cases} - x n \overline{θ} u x < 0 \\ 0 & n \overline{θ} u x = 0 \\ x^{2} n \overline{θ} u x > 0 \end{cases}$ tại điểm $x_{0} = 0$ .

2. Hàm số liên tục trên một khoảng

HĐ2

Cho hai hàm số $f (x) = {\begin{cases} 2 x n \overline{e} u 0 \leq x \leq \frac{1}{2}, \\ 1 & n \overline{e} u \frac{1}{2} < x \leq 1 \end{cases}$ và $g (x) = {\begin{cases} x n δ u 0 < x \leq \frac{1}{2} \\ 1 n E u \frac{1}{2} < x \leq 1 \end{cases}$ với đồ thị tương ứng như Hình 5.7 Xét tính liên tục của các hàm số $f (x)$ và $g (x)$ tại điềm $x = \frac{1}{2}$ và nhận xét về sự khác nhau giữa hai đồ thị.

Hình/bảng: Hình 5.7: Đồ thị hàm số $y=f(x)$ và $y=g(x)$. Đồ thị $y=f(x)$ là một đường gấp khúc, liên tục. Đồ thị $y=g(x)$ là một đường gấp khúc, có một điểm gián đoạn tại $x=1/2$.

Hình 5.7. Hình 5.7: Đồ thị hàm số

y = f (x)

và

y = g (x)

. Đồ thị

y = f (x)

là một đường gấp khúc, liên tục. Đồ thị

y = g (x)

là một đường gấp khúc, có một điểm gián đoạn tại

x = 1 / 2

Hàm số $y = f (x)$ được gọi là liên tục trên khoảng (a; b) nếu nó liên tục tại mọi điềm thuộc khoảng này. Hàm số $y = f (x)$ được gọi là liên tục trên đoạn [a b] nếu nó liên tục trên khoảng (a; b) và $\lim_{x \to a^{+}} f (x) = f (a)$ , $\lim_{x \to b^{-}} f (x) = f (b)$ .

Các khái niệm hàm số liên tục trên nửa khoảng như (a; b], $[a; + \infty) \cdot \cdot \cdot$ được định nghĩa theo cách tương tự. Có thể thấy đồ thị của hàm số liên tục trên một khoảng là một đường liền trên khoảng đó.

Ví dụ 3

Dạng bài: Xét tính liên tục của hàm số trên khoảng

Xét tính liên tục của hàm số $f (x) = {\begin{cases} x - 1 n \tilde{e} u x \in (0; 1) \\ 0 & n \tilde{e} u x = 1 \end{cases}$ trên nửa khoảng (0; 1]. Giải Ta có $f (x) = x - 1$ với $x \in (0; 1)$ . Với $x_{0} \in (0; 1)$ bất kì, ta có $\lim_{x \to x_{0}} (x - 1) = x_{0} - 1 = f (x_{0})$ . Vậy hàm số $f (x)$ liên tục trên khoảng (0; 1). Hơn nữa, $\lim_{x \to Γ} f (x) = 0 = f (1)$ nên $f (x)$ liên tục trên nửa khoảng (0; 1].

Về tính liên tục của các hàm số sơ cấp cơ bản đã biết, ta có . Hàm số đa thức và các hàm số $y = \sin x,$ $y = \cos x$ liên tục trên IR. Các hàm số $y = t a n x,$ $y = \cot x$ $y = \sqrt{x}$ và hàm phân thức hữu tỉ (thương của hai đa thức) liên tục trên tập xác định của chúng.

Ví dụ 4

Dạng bài: Tìm khoảng liên tục của hàm số

Cho hàm số $f (x) = \frac{x + 1}{x - 1} .$ Tìm các khoảng trên đó hàm số $f (x)$ liên tục. Giải Tập xác định của hàm số $f (x)$ là $(- \infty; 1) \cup (1; + \infty) .$ Vậy hàm số $f (x)$ liên tục trên các khoảng $(- \infty; 1)$ và $(1; + \infty)$ .

Luyện tập 2

Dạng bài: Tìm khoảng liên tục của hàm số

Tìm các khoảng trên đó hàm số $f (x) = \frac{x^{2} + 1}{x + 2}$ liên tục.

3. Một số tính chất cơ bản

HĐ3

Cho hai hàm số $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = - x + 1$ . a) Xét tỉnh liên tục của hai hàm số trên tại $x = 1$ . b) Tính $L = \lim_{x \to 1} [f (x) + g (x)]$ và so sánh với $L$ $f (1) + g (1)$ .

Ta có khẳng định sau đây về tồng, hiệu, tích và thương của hai hàm số liên tục. Giả sử hai hàm số $y = f (x)$ và $y = g (x)$ liên tục tại điểm $x_{0}$ Khi đó: a) Các hàm số $y = f (x) + g (x),$ $y = f (x) - g (x)$ và $y = f (x) g (x)$ liên tục tại $x_{0};$ b) Hàm số $y = \frac{f (x)}{g (x)}$ liên tục tại x nếu $g (x_{0}) \neq 0$ .

Ví dụ 5

Dạng bài: Xét tính liên tục của hàm số

Xét tỉnh liên tục của hàm số $f (x) = \frac{\sin x}{x - 1} .$ Giải Hàm số xác định trên các khoảng $(- \infty; 1)$ và $(1; + \infty)$ Trên các khoảng này, tử thức (hàm lượng giác) và mẫu thức (hàm đa thứclà các hàm số liên tục. Do đó, hàm số $f (x)$ liên tục trên $R \ {1}$ .

Nhận xét

Nếu hàm số $y = f (x)$ liên tục trên đoạn [a; b] và $f (a) f (b) < 0$ thì tồn tại ít nhất một điểm $c \in (a; b)$ sao cho $f (c) = 0$

Hình 5.8. Hình 5.8: Đồ thị hàm số

y = f (x)

liên tục trên đoạn

[a, b]

với

f (a) < 0

và

f (b) > 0

. Đồ thị cắt trục hoành tại điểm

c

nằm giữa

a

và

b

Ví dụ 6

Dạng bài: Ứng dụng định lí giá trị trung gian

Chứng minh rằng phương trình $x^{5} + x^{3} - 10 = 0$ có ít nhất một nghiệm. Giải Xét hàm số $f (x) = x^{5} + x^{3} - 10$ Ta có $f (0) = - 10 < 0,$ $f (2) = 30 > 0$ và vì $f (x)$ là hàm đa thức nên nó liên tục trên [0; 2]. Khi đó, phương trình $f (x) = 0$ có ít nhất một nghiệm trong khoảng (0; 2).

Vận dụng

Dạng bài: Giải quyết vấn đề

Giải bài toán ở tình huống mở đầu.

Bài tập

5.14

Dạng bài: Tính giá trị hàm số liên tục

Cho $f (x)$ và $g (x)$ là các hàm số liên tục tại $x = 1$ 1. Biết $f (1) = 2$ và $\lim_{x \to 1} [2 f (x) - g (x)] = 3.$ Tính $g (1)$ .

5.15

Dạng bài: Xét tính liên tục của hàm số

Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của chúng: a) $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 5 x + 6};$ b) $f (x) = {\begin{cases} 1 + x^{2} n \hat{e} u x < 1 \\ 4 - x & n \hat{e} u x \geq 1. \end{cases}$

5.16

Dạng bài: Tìm tham số để hàm số liên tục

Tìm giá trị của tham số m để hàm số $f (x) = {\begin{cases} \sin x & n \hat{e} u x \geq 0 \\ - x + m n \hat{e} u x < 0 \end{cases}$ liên tục trên IR.

5.17

Dạng bài: Ứng dụng hàm số liên tục trong thực tế

Một bảng giá cước taxi được cho như sau: \begin{array}{|c|c|c|} \hline \text{Giá mở cửa} & \text{Giá cước các km tiếp theo} & \text{Giá cước từ km thứ 31} \\ \text{(0,5 km đầu)} & \text{đến 30 km} & \\ \hline \text{10 000 đồng} & \text{13 500 đồng} & \text{11 000 đồng} \\ \hline \end{array} a) Viết công thức hàm số mô tả số tiền khách phải trả theo quãng đường di chuyển. b) Xét tính liên tục của hàm số ở câu a.

Xem bản PDF nguyên trang sách: Toán 11 tập 1 – Kết nối tri thức với cuộc sống (trang 119–122).