Bài 10. Đường thẳng và mặt phẳng trong không…

Yêu cầu cần đạt

Nhận biết các quan hệ liên thuộc cơ bản giữa điểm, đường thẳng, mặt phẳng trong không gian.
Mô tả ba cách xác định mặt phẳng.
Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng, giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng.
Nhận biết hình chóp và hình tứ diện.
Mô tả một số hình ảnh trong thực tiễn có liên quan đến đường thẳng, mặt phẳng trong không gian.

Thuật ngữ: Mặt phẳng · Điểm thuộc mặt phẳng · Các điểm đồng phẳng · Giao tuyến của hai mặt phẳng · Hình chóp và hình tứ diện

Chương IV quan hệ song song trong không gian

Ở các lớp dưới, ta đã học về Hình học phẳng, môn học nghiên cứu tính chất của các hình trong mặt phẳng như hình tam giác, hình tứ giác, hình tròn... Tuy nhiên, các vật thể thường gặp trong thực tế đời sống như hộp phấn, cục tẩy, chặn giấy là các hình trong không gian. Một số tính chất của những hình này đã được giới thiệu và thừa nhận trong phần Hình học trực quan. Trong chương này, ta sẽ tiếp tục học về Hình học không gian, môn học nghiên cứu tinh chất của các hình trong không gian dựa trên các lập luận toán học logic và chặt chẽ. Nội dung chính của chương liên quan đến đường thẳng, mặt phẳng trong không gian và vị trí tương đối giữa chúng.

Hình ảnh ô tô và chú thích: Hình học không gian đóng vai trò quan trọng trong xây dựng và đồ hoạ như vẽ kĩ thuật, in 3D, thiết kế với sự hỗ trợ của máy tính CAD (Computer Aided Design).

THUẬT NGỮ

Mặt phẳng
Điểm thuộc mặt phẳng
Các điểm đồng phẳng
Giao tuyến của hai mặt phẳng
Hình chóp và hình tứ diện

KIẾN THỨC, KĨ NĂNG

Nhận biết các quan hệ liên thuộc cơ bản giữa điểm, đường thẳng, mặt phẳng trong không gian.
Mô tả ba cách xác định mặt phẳng.
Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng, giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng.
Nhận biết hình chóp và hình tứ diện.
Mô tả một số hình ảnh trong thực tiễn có liên quan đến đường thẳng, mặt phẳng trong không gian.

Điểm, đường thẳng và mối quan hệ liên thuộc giữa hai đối tượng hình học này đã được giới thiệu trong Hình học phẳng. Bài này tiếp tục trình bày một đối tượng hình học khác là mặt phẳng, đồng thời nghiên cứu mối quan hệ liên thuộc giữa điểm, đường thẳng với mặt phẳng.

Khái niệm mở đầu

Mặt bảng, màn hình máy tính hay mặt nước lúc tĩnh lặng là một số hình ảnh về một phần của mặt phẳng. Mặt phẳng không có bề dày và không có giới hạn.

Ba hình ảnh: bảng đen, laptop, mặt nước tĩnh lặng.

Chú ý

Để biểu diễn mặt phẳng ta thường dùng một hình bình hành và viết tên của mặt phẳng vào một góc của hình. Ta cũng có thể sử dụng một góc và viết tên của mặt phẳng ở bên trong góc đó.

Để kí hiệu mặt phẳng ta dùng chữ cái in hoa hoặc chữ cái Hy Lạp đặt trong dấu ngoặc (). Trong Hình 4.1, ta có mặt phẳng (P) và mặt phẳng (a).

Hãy tìm một số hình ảnh của mặt phẳng trong thực tế.

HĐ1

Chấm phạt đền trên sân bóng đá cho ta hình ảnh về một điểm thuộc một mặt phẳng. Hãy tìm thêm các ví dụ khác cũng gợi cho ta hình ảnh đó.

Hình/bảng: Hình 4.2: a) Sân bóng đá với chấm phạt đền. b) Mặt phẳng (P) với điểm A thuộc (P) và điểm B không thuộc (P).

Điểm A thuộc mặt phẳng (P), kí hiệu $A \in (P) .$
Điểm B không thuộc mặt phẳng (P), kí hiệu $B \notin (P)$

Nếu $A \in (P)$ ta còn nói A nằm trên (P), hoặc (P) chứa A, hoặc (P) đi qua A.

Chú ý

Để nghiên cứu hình học không gian, ta thường vẽ các hình đó lên bảng hoặc lên giấy. Hình vẽ đó được gọi là hình biểu diễn của một hình không gian. Hình biểu diễn của một hình không gian cần tuân thủ những quy tắc sau:

Hình biểu diễn của đường thẳng là đường thẳng, của đoạn thẳng là đoạn thẳng.
Hình biểu diễn của hai đường thẳng song song là hai đường thẳng song song, của hai đường thẳng cắt nhau là hai đường thẳng cắt nhau.
Hình biểu diễn giữ nguyên quan hệ liên thuộc giữa điềm và đường thẳng.
Dùng nét vẽ liền để biểu diễn cho đường nhìn thấy và nét đứt đoạn để biểu diễn cho đường bị che khuất.

Các quy tắc khác sẽ được học ở phần sau.

Các tính chất thừa nhận

HĐ2

Chiếc xà ngang đặt tựa lên hai điểm A, B của trụ nhảy thể hiện hình ảnh của một đường thẳng đi qua hai điểm đó. Có thể tìm được một đường thẳng khác cũng đi qua hai điểm A, B hay không?

Hình/bảng: Hình ảnh xà ngang đặt trên hai trụ A, B.

Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điềm phân biệt.

Có bao nhiêu đường thẳng đi qua hai điểm trong số ba điểm không thẳng hàng?

HĐ3

Trong Hình 4.4 là một khối rubik có bốn đỉnh và bốn mặt, mỗi mặt là một tam giác.
a) Đặt khối rubik sao cho ba đỉnh của mặt màu đỏ đều nằm trên mặt bàn. Khi đó, mặt màu đỏ của khối rubik có nằm trên mặt bàn hay không?
b) Có thể đặt khối rubik sao cho bốn đỉnh của nó đều nằm trên mặt bàn hay không?

Hình/bảng: Hình 4.4: Khối rubik hình tứ diện.

Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng.

Tồn tại bốn điểm không cùng thuộc một mặt phẳng.

Nhận xét

Một mặt phẳng hoàn toàn xác định nếu biết ba điểm không thẳng hàng thuộc mặt phẳng đó. Ta kí hiệu mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng A, B, C là (ABC). Nếu có nhiều điềm cùng thuộc một mặt phẳng thì ta nói những điểm đó đồng phẳng. Nếu không có mặt phẳng nào chứa các điểm đó thì ta nói những điềm đó không đồng phẳng.

Có bao nhiêu mặt phẳng đi qua ba điểm thẳng hàng?

Ví dụ 1

Dạng bài: Xác định số mặt phẳng đi qua 3 điểm trong 4 điểm không đồng phẳng

Cho bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng (H.4.5). Có bao nhiêu mặt phẳng đi qua ba trong số bốn điểm đã cho?

Hình/bảng: Hình 4.5: Tứ diện ABCD.

Lời giải

Có 4 mặt phẳng đi qua ba trong số bốn điểm đã cho, đó là các mặt phẳng (DAB), (DAC), (DBC) và (ABC).

Luyện tập 1

Dạng bài: Xác định số mặt phẳng đi qua 3 đỉnh của tứ giác

Cho tứ giác ABCD. Có bao nhiêu mặt phẳng đi qua ba trong số bốn đỉnh của tứ giác đó?

Vận dụng 1

Hãy giải thích tại sao trong thực tiễn có nhiều đồ vật được thiết kế gồm ba chân như chân đỡ máy ảnh, giá treo tranh, kiềng ba chân treo nồi....

HĐ4

Căng một sợi dây sao cho hai đầu của sợi dây nằm trên mặt bàn. Khi đó, sợi dây có nằm trên mặt bàn hay không?

Hình/bảng: Ba hình ảnh: chân máy ảnh, giá treo tranh, kiềng ba chân.

Nếu một đường thẳng có hai điểm phân biệt thuộc một mặt phẳng thì tất cả các điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó.

Chú ý

Nếu mọi điểm của đường thẳng d đều thuộc mặt phẳng (P) thì ta nói đường thẳng d nằm trong (P) hoặc (P) chứa d. Khi đó ta kí hiệu là $d \subset (P)$ hoặc $(P) \supset d .$

Ví dụ 2

Dạng bài: Xác định điểm/đường thẳng thuộc mặt phẳng

Cho tam giác ABC và một điểm M thuộc đường thẳng BC (H.4.6).
a) Điểm M có thuộc mặt phẳng (ABC) hay không?
b) Đường thẳng AM có nằm trong mặt phẳng (ABC) hay không?

Hình/bảng: Hình 4.6: Tam giác ABC và điểm M trên BC.

Lời giải

a) Đường thẳng BC có hai điềm phân biệt B, C thuộc mặt phẳng (ABC) nên đường thẳng BC nằm trong mặt phẳng (ABC). Vì M thuộc đường thẳng BC nên M thuộc mặt phẳng (ABC).
b) Đường thẳng AM có hai điểm phân biệt A, M thuộc mặt phẳng (ABC) nên đường thẳng AM nằm trong mặt phẳng (ABC).

Luyện tập 2

Dạng bài: Xác định đường thẳng thuộc mặt phẳng

Trong Ví dụ 2, lấy điểm N thuộc đường thẳng AB sao cho N khác M. Đường thẳng MN có thuộc mặt phẳng (ABC) hay không?

HĐ5

Trong Hình 4.7, mặt nước và thành bể có giao nhau theo đường thẳng hay không?

Hình/bảng: Hình 4.7: Bể cá với mặt nước.

Nếu hai mặt phẳng phân biệt có điểm chung thì các điểm chung của hai mặt phẳng là một đường thẳng đi qua điểm chung đó.

Chú ý

Đường thẳng chung d (nếu có) của hai mặt phẳng phân biệt (P) và (Q) được gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng đó và kí hiệu là $d = (P) \cap (Q) .$

Ví dụ 3

Dạng bài: Xác định điểm chung, giao tuyến của hai mặt phẳng

Cho tam giác ABC và một điểm S không thuộc mặt phẳng (ABC). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AB, AC (H.4.8).
a) Chỉ ra một điểm chung của hai mặt phẳng (SBN), (SCM) và khác điểm S.
b) Giao tuyến của hai mặt phẳng (SBN) và (SCM) có đi qua trọng tâm của tam giác ABC hay không?

Hình/bảng: Hình 4.8: Hình chóp S.ABC với M, N là trung điểm AB, AC.

Lời giải

a) Trong tam giác ABC, hai đường trung tuyến BN và CM cắt nhau tại trọng tâm G của tam giác. Điểm G thuộc BN nên cũng thuộc mặt phẳng (SBN). Điểm G thuộc CM nên cũng thuộc mặt phẳng (SCM). Vậy G là một điểm chung của hai mặt phẳng (SBN) và (SCM).
b) Vì S, G là hai điểm chung của hai mặt phẳng (SBN) và (SCM) nên giao tuyến của hai mặt phẳng này là đường thẳng SG. Đường thẳng này đi qua trọng tâm G của tam giác ABC.

Nhận xét

Hai đường trung tuyến trong một tam giác cắt nhau tại trọng tâm của tam giác là một tính chất đã được học trong hình học phẳng. Trong ví dụ trên, tính chất này đã được áp dụng cho tam giác ABC trong mặt phẳng (ABC).

Trong trường hợp tổng quát, ta có tính chất sau:

Trên mỗi mặt phẳng, tất cả các kết quả đã biết trong hinh học phẳng đều đúng.

Luyện tập 3

Dạng bài: Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng

Trong Ví dụ 3, hãy xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SBM) và (SCN).

Cách xác định một mặt phẳng

Ở mục 2, ta đã thừa nhận kết quả sau:

Một mặt phẳng được hoàn toàn xác định khi biết nó đi qua ba điềm không thẳng hàng.

Mục này sẽ tiếp tục giới thiệu thêm hai cách xác định một mặt phẳng.

HĐ6

Cho đường thằng d và điểm A không thuộc d. Trên đường thẳng d lấy hai điểm phân biệt B, C (H.4.9). Mặt phẳng (ABC) có chứa điểm A và đường thẳng d hay không? Mặt phẳng (ABC) có chứa hai đường thẳng AB và BC hay không?

Hình/bảng: Hình 4.9: Đường thẳng d và điểm A không thuộc d, với B, C trên d.

Một mặt phẳng được hoàn toàn xác định khi biết nó đi qua một điểm và chứa một đường thẳng không đi qua điểm đó.

Một mặt phẳng được hoàn toàn xác định khi biết nó chứa hai đường thẳng cắt nhau.

Chú ý

Mặt phẳng được xác định bởi điểm A và đường thẳng d không chứa A được kí hiệu là $m p (A, d)$ . Mặt phẳng được xác định bởi hai đường thẳng cắt nhau a và b được kí hiệu là $m p (a, b) .$

Ví dụ 4

Dạng bài: Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng

Cho hai đường thẳng cắt nhau a, b và gọi S là một điểm không thuộc $m p (a, b)$ (H.4.10). Xác định giao tuyến của $m p (S, a)$ và $m p (S, b)$ .

Hình/bảng: Hình 4.10: Hai đường thẳng a, b cắt nhau tại M và điểm S không thuộc mặt phẳng (a,b).

Lời giải

Gọi M là giao điểm của a và b. Vì M thuộc a nên M thuộc $m p (S, a)$ . Vi M thuộc b nên M thuộc $m p (S, b)$ . Hai điểm S, M cùng thuộc mp(S, a) và mp(S, b) nên giao tuyến của hai mặt phẳng đó là đường thẳng SM.

Luyện tập 4

Dạng bài: Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng

Trong Ví dụ 4, vẽ một đường thẳng c cắt cả hai đường thẳng a và b. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng: $m p (S, a)$ và $m p (S, c)$ $m p (S, b)$ và $m p (S, c)$

Vận dụng 2

Để tránh cho cửa ra vào không bị va đập vào các đồ dùng xung quanh (do mở cửa quá mạnh hoặc do gió to dập cửa), người ta thường sử dụng một phụ kiện là hít cửa nam châm. Hãy giải thích tại sao khi cửa được hút tới vị trí của nam châm thì cánh cửa được giữ cố định.

Hình/bảng: Hình ảnh cửa và hít cửa nam châm.

HĐ7

Các hình ảnh dưới đây có đặc điểm chung nào với hình chóp tam giác đều mà em đã học ở lớp 8?

Hình/bảng: Hai hình ảnh: kim tự tháp và khối rubik hình chóp.

Cho đa giác lồi $A_{1} A_{2} . . . A_{n}$ và một điểm S nằm ngoài mặt phẳng chứa đa giác đó. Nối S với các đỉnh $A_{1}, A_{2}, . . ., A_{n}$ để được n tam giác SA,A₂, SA A3, ..., SA,A,. Hình gồm n tam giác $S A_{1} A_{2}$ $S A_{2} A_{3^{1}}, . . ., S A_{n} A_{1}$ và đa giác $A_{1} A_{2} . . . A_{n}$ được gọi là hình chóp và kí hiệu là $S . A_{1} A_{2} . . . {\dot{A}}_{n} .$
Trong hình chóp $S . A_{1} A_{2} . . . A_{n^{'}}$ điềm S được gọi là đỉnh và đa giác $A_{1} A_{2} . . . A_{n}$ được gọi là mặt đáy, các tam giác $S A_{1} A_{2}$ $S A_{2} A_{3}, . . ., S A_{n} A_{1}$ được gọi là các mặt bên; các cạnh $S A_{1}, S A_{\frac{2}{2}}, . . ., S A_{n}$ được gọi là các cạnh bên; các cạnh $A_{1} A_{2}, A_{2} A_{3}, . . ., A_{n} A_{1}$ được gọi là các cạnh đáy.

Chú ý

Tên của hình chóp được gọi dựa theo tên của đa giác đáy, ví dụ hình chóp có đáy là tứ giác được gọi là hình chóp tứ giác.

Ví dụ 5

Dạng bài: Xác định số đỉnh, số cạnh của hình chóp

Cho hình chóp S.ABCD (H.4.11). Hình chóp đó có bao nhiêu đỉnh, bao nhiêu cạnh?

Hình/bảng: Hình 4.11: Hình chóp S.ABCD.

Lời giải

Hình chóp S.ABCD có 5 đỉnh là S, A, B, C, D và có 8 cạnh là SA, SB, SC, SD, AB, BC, CD, DA.

Luyện tập 5

Dạng bài: Gọi tên các mặt bên và mặt đáy của hình chóp

Cho hình chóp S.ABCD. Gọi tên các mặt bên và mặt đáy của hình chóp đó.

HĐ8

Trong các hình chóp ở HĐ7, hình chóp nào có ít đỉnh nhất? Xác định số đỉnh, số cạnh và số mặt của hình chóp đó.

Cho bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng. Hình gồm bốn tam giác ABC, ACD, ABD và BCD được gọi là hình tử diện và được kí hiệu là ABCD.
Trong hình tứ diện ABCD, các điểm A, B, C, D được gọi là các đỉnh của tứ diện, các đoạn thẳng AB, BC, CD, DA, AC, BD được gọi là các cạnh của tứ diện, các tam giác ABC, ACD, ABD, BCD được gọi là các mặt của tử diện.
Trong hình tứ diện, hai cạnh không có đỉnh chung được gọi là hai cạnh đối diện, đỉnh không nằm trên một mặt được gọi là đình đối diện với mặt đó.

Nhận xét

Hình tứ diện là một hình chóp tam giác mà mặt nào của hình tứ diện cũng có thể được coi là mặt đáy.

Ví dụ 6

Dạng bài: Xác định giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng

Cho hình tứ diện ABCD và E là một điểm nằm trong tam giác BCD. Gọi F là một điểm nằm giữa A và E (H.4.12). Xác định giao điểm của đường thẳng BF và mặt phẳng (ACD).

Hình/bảng: Hình 4.12: Hình tứ diện ABCD, điểm E trong tam giác BCD, F là trung điểm AE.

Lời giải

Vì điểm E nằm trong tam giác BCD nên đường thẳng BE cắt cạnh CD tại một điểm M. Các điểm A, E thuộc mặt phẳng (ABM) nên đường thẳng AE thuộc mặt phẳng (ABM), do đó điểm F thuộc mặt phẳng (ABM). Như vậy các điểm A, B, E, F, M cùng thuộc mặt phẳng (ABM).
Trong tam giác ABM, đường thẳng BF cắt AM tại N. Vì N thuộc AM và A, M cùng thuộc mặt phẳng (ACD) nên N thuộc mặt phẳng (ACD). Vậy N là giao điểm của đường thẳng BF và mặt phẳng (ACD).

Để xác định giao điểm của một đường thẳng và một mặt phẳng, ta có thể tìm giao điểm của đường thẳng đó với một đường thẳng nằm trong mặt phẳng đã cho.

Luyện tập 6

Dạng bài: Xác định giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng

Trong Ví dụ 6, xác định giao điểm của đường thằng DF và mặt phẳng (ABC).

Hình/bảng: Hình ảnh robot.

Bài tập

4.1

Dạng bài: Xác định mệnh đề đúng về quan hệ giữa đường thẳng và mặt phẳng

Trong không gian, cho hai đường thẳng a, b và mặt phẳng (P). Những mệnh đề nào sau đây là đúng?
a) Nếu a chứa một điểm nằm trong (P) thì a nằm trong (P).
b) Nếu a chứa hai điểm phân biệt thuộc (P) thì a nằm trong (P).
c) Nếu a và b cùng nằm trong (P) thì giao điểm (nếu có) của a và b cũng nằm trong (P).
d) Nếu a nằm trong (P) và a cắt b thì b nằm trong (P).

4.2

Dạng bài: Xác định đường thẳng thuộc mặt phẳng, chứng minh điểm chung

Cho tam giác ABC và điểm S không thuộc mặt phẳng (ABC). Lấy D, E là các điểm lần lượt thuộc các cạnh SA, SB và D, E khác S.
a) Đường thẳng DE có nằm trong mặt phẳng (SAB) không?
b) Giả sử DE cắt AB tại F. Chứng minh rằng F là điểm chung của hai mặt phẳng (SAB) và (CDE).

4.3

Dạng bài: Chứng minh đường thẳng nằm trong mặt phẳng

Cho mặt phẳng (P) và hai đường thằng a, b nằm trong (P). Một đường thẳng c cắt hai đường thằng a và b tại hai điểm phân biệt. Chứng minh rằng đường thẳng c nằm trong mặt phẳng (P).

4.4

Dạng bài: Chứng minh giao tuyến của hai mặt phẳng

Cho hình chóp tứ giác S.ABCD và M là một điểm thuộc cạnh SC (M khác S, C). Giả sử hai đường thẳng AB và CD cắt nhau tại N. Chứng minh rằng đường thẳng MN là giao tuyến của hai mặt phẳng (ABM) và (SCD).

4.5

Dạng bài: Xác định giao điểm, giao tuyến

Cho hình chóp tứ giác S.ABCD và lấy một điểm E thuộc cạnh SA của hình chóp (E khác S, A). Trong mặt phẳng (ABCD) vẽ một đường thẳng d cắt các cạnh CB, CD lần lượt tại M, N và cắt các tia AB, AD lần lượt tại P, Q.
a) Xác định giao điểm của $m p (E, d)$ với các cạnh SB, SD của hình chóp.
b) Xác định giao tuyến của $m p (E, d)$ với các mặt của hình chóp.

4.6

Dạng bài: Xác định giao điểm, giao tuyến

Cho hình tứ diện ABCD. Trên các cạnh AC, BC, BD lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho $A M = C M$ $B N = C N$ $B P = 2 D P$ .
a) Xác định giao điểm của đường thẳng CD và mặt phẳng (MNP).
b) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (ACD) và (MNP).

4.7

Dạng bài: Giải thích ứng dụng thực tế

Tại các nhà hàng, khách sạn, nhân viên phục vụ bàn thường xuyên phải bưng bê nhiều khay, đĩa đồ ăn khác nhau. Một trong những nguyên tắc nhân viên cần nhớ là khay phải được bưng bằng ít nhất 3 ngón tay. Hãy giải thích tại sao.

Hình/bảng: Hình ảnh người phục vụ bưng khay.

4.8

Dạng bài: Giải thích ứng dụng thực tế

Bàn cắt giấy là một dụng cụ được sử dụng thường xuyên ở các cửa hàng photo-copy. Bàn cắt giấy gồm hai phần chính: phần bàn hình chữ nhật có chia kích thước giấy và phần dao cắt có một đầu được cố định vào bàn. Hãy giải thích tại sao khi sử dụng bàn cắt giấy thì các đường cắt luôn là đường thẳng.

Hình/bảng: Hình ảnh bàn cắt giấy.

Xem bản PDF nguyên trang sách: Toán 11 tập 1 – Kết nối tri thức với cuộc sống (trang 70–77).