Bài 1. Giá trị lượng giác của góc lượng giác

Yêu cầu cần đạt

Nhận biết các khái niệm cơ bản về góc lượng giác.
Nhận biết khái niệm giá trị lượng giác của một góc lượng giác.
Mô tả bảng giá trị lượng giác của một số góc lượng giác thường gặp; hệ thức cơ bản giữa các giá trị lượng giác của một góc lượng giác; quan hệ giữa các giá trị lượng giác của các góc lượng giác có liên quan đặc biệt: bù nhau, phụ nhau, đối nhau, hơn kém nhau $π$ .
Sử dụng máy tính cầm tay để tính giá trị lượng giác của một góc lượng giác khi biết số đo của góc đó.
Giải quyết một số vấn đề thực tiễn gắn với giá trị lượng giác của góc lượng giác.

Thuật ngữ: Góc lượng giác · Số đo của góc lượng giác · Đường tròn lượng giác · Giá trị lượng giác của góc lượng giác · Hệ thức cơ bản giữa các giá trị lượng giác · côsin · sin · tang · côtang · trục sin · trục côsin

Chương này giới thiệu khái niệm góc lượng giác, giá trị lượng giác của góc lượng giác, các công thức lượng giác cơ bản, hàm số lượng giác, cách giải phương trình lượng giác cơ bản và một số ứng dụng của lượng giác trong thực tiễn.

Đồ thị hàm số sin hoặc cos với trục thời gian t và các điểm

t_{0}

Dạng bài: Giải quyết vấn đề thực tiễn

Trạm vũ trụ Quốc tế ISS (tên Tiếng Anh: International Space Station) nằm trong quỹ đạo tròn cách bề mặt Trái Đất khoảng $400 k m$ (H.1.1). Nếu trạm mặt đất theo dõi được trạm vũ trụ ISS khi nó nằm trong góc $45^{\circ}$ ở tâm của quỹ đạo tròn này phía trên ăng-ten theo dõi, thì trạm vũ trụ ISS đã di chuyển được bao nhiêu kilômét trong khi nó đang được trạm mặt đất theo dõi? Giả sử rằng bán kính của Trái Đất là $6400 k m$ . Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị.

Hình/bảng: Hình 1.1: Sơ đồ Trái Đất và quỹ đạo ISS, với bán kính Trái Đất $6400 km$, độ cao quỹ đạo $400 km$, và góc $45^{\circ}$ tại tâm.

1. Góc lượng giác

a) Khái niệm góc lượng giác và số đo của góc lượng giác

HĐ1. Nhận biết khái niệm góc lượng giác

Dạng bài: Nhận biết khái niệm góc lượng giác

Trên đồng hồ ở Hình 1.2, kim phút đang chỉ đúng số 2.
a) Phải quay kim phút mấy phần của một vòng tròn theo chiều quay ngược chiều kim đồng hồ để nó chỉ đúng số 12?
b) Phải quay kim phút mấy phần của một vòng tròn theo chiều quay của kim đồng hồ để nó chỉ đúng số 12?
c) Có bao nhiêu cách quay kim phút theo một chiều xác định để kim phút từ vị trí chỉ đúng số 2 về vị trí chỉ đúng số 12?

Hình/bảng: Hình 1.2: Đồng hồ chỉ 12 giờ 10 phút.

Trong mặt phẳng, cho hai tia $O u, O v$ . Xét tia $O m$ cùng nằm trong mặt phẳng này. Nếu tia $O m$ quay quanh điểm $O$ , theo một chiều nhất định từ $O u$ đến $O v$ , thì ta nói nó quét một góc lượng giác với tia đầu $O u$ , tia cuối $O v$ và kí hiệu là $(O u, O v)$ .

Góc lượng giác $(O u, O v)$ chỉ được xác định khi ta biết được chuyển động quay của tia $O m$ từ tia đầu $O u$ đến tia cuối $O v$ (H.1.3). Ta quy ước: Chiều quay ngược với chiều quay của kim đồng hồ là chiều dương, chiều quay cùng chiều kim đồng hồ là chiều âm.

Hình 1.3. Ba hình vẽ minh họa các góc lượng giác khác nhau giữa hai tia

O u

và

O v

, với tia

O m

quay theo chiều dương hoặc âm.

Khi đó, nếu tia $O m$ quay theo chiều dương một vòng ta nói tia $O m$ quay góc $360^{\circ}$ , quay đúng 2 vòng ta nói nó quay góc $720^{\circ}$ ; quay theo chiều âm nửa vòng ta nói nó quay góc $- 180^{\circ}$ , quay theo chiều âm $1, 5$ vòng ta nói nó quay góc $- 1, 5 \cdot 360^{\circ} = - 540^{\circ}$ , ...
Khi tia $O m$ quay góc $α^{\circ}$ thì ta nói góc lượng giác mà tia đó quét nên có số đo $α^{\circ}$ . Số đo của góc lượng giác có tia đầu $O u$ , tia cuối $O v$ được kí hiệu là $s đ (O u, O v)$ .

Bốn hình vẽ minh họa các góc lượng giác

360^{\circ}

720^{\circ}

- 180^{\circ}

- 540^{\circ}

giữa hai tia

O u

và

O v

Mỗi góc lượng giác gốc $O$ được xác định bởi tia đầu $O u$ , tia cuối $O v$ và số đo của nó.

Chú ý

Cho hai tia $O u, O v$ thì có vô số góc lượng giác tia đầu $O u$ , tia cuối $O v$ . Mỗi góc lượng giác như thế đều kí hiệu là $(O u, O v)$ . Số đo của các góc lượng giác này sai khác nhau một bội nguyên của $360^{\circ}$ .

Ví dụ 1

Dạng bài: Xác định số đo góc lượng giác

Cho góc hình học $u O v$ có số đo $60^{\circ}$ (H.1.4). Xác định số đo của các góc lượng giác $(O u, O v)$ và $(O v, O u)$ .

Hình/bảng: Hình 1.4: Góc hình học $uOv$ bằng $60^{\circ}$.

Lời giải

Giải
Ta có:

Các góc lượng giác tia đầu $O u$ , tia cuối $O v$ có số đo là

$s đ (O u, O v) = 60^{\circ} + k 360^{\circ} (k \in Z)$ .

Các góc lượng giác tia đầu $O v$ , tia cuối $O u$ có số đo là

$s đ (O v, O u) = - 60^{\circ} + k 360^{\circ} (k \in Z)$ .

Luyện tập 1

Dạng bài: Xác định số đo góc lượng giác

Cho góc hình học $u O v = 45^{\circ}$ . Xác định số đo của góc lượng giác $(O u, O v)$ trong mỗi trường hợp sau:

Hình/bảng: Hai hình vẽ minh họa góc $uOv$ với tia $Ov$ ở các vị trí khác nhau so với $Ou$.

b) Hệ thức Chasles

HĐ2. Nhận biết hệ thức Chasles

Dạng bài: Nhận biết hệ thức Chasles

Cho ba tia $O u, O v, O w$ với số đo của các góc hình học $u O v$ và $v O w$ lần lượt là $30^{\circ}$ và $45^{\circ}$ .
a) Xác định số đo của ba góc lượng giác $(O u, O v)$ , $(O v, O w)$ và $(O u, O w)$ được chỉ ra ở Hình 1.5.
b) Với các góc lượng giác ở câu a, chứng tỏ rằng có một số nguyên $k$ để $s đ (O u, O v) + s đ (O v, O w) = s đ (O u, O w) + k 360^{\circ}$ .

Hình/bảng: Hình 1.5: Ba tia $Ou, Ov, Ow$ với góc $uOv = 30^{\circ}$ và $vOw = 45^{\circ}$.

Hệ thức Chasles

Với ba tia $O u, O v, O w$ bất kì, ta có
$s đ (O u, O v) + s đ (O v, O w) = s đ (O u, O w) + k 360^{\circ} (k \in Z)$ .

Nhận xét

Từ hệ thức Chasles, ta suy ra:
Với ba tia tuỳ ý $O x, O u, O v$ ta có
$s đ (O u, O v) = s đ (O x, O v) - s đ (O x, O u) + k 360^{\circ} (k \in Z)$ .
Hệ thức này đóng vai trò quan trọng trong việc tính toán số đo của góc lượng giác.

Ví dụ 2

Dạng bài: Tính số đo góc lượng giác

Cho một góc lượng giác $(O x, O u)$ có số đo $- 270^{\circ}$ và một góc lượng giác $(O x, O v)$ có số đo $135^{\circ}$ . Tính số đo của các góc lượng giác $(O u, O v)$ .

Lời giải

Giải
Số đo của các góc lượng giác tia đầu $O u$ , tia cuối $O v$ là
$s đ (O u, O v) = s đ (O x, O v) - s đ (O x, O u) + k 360^{\circ}$
$= 135^{\circ} - (- 270^{\circ}) + k 360^{\circ} = 405^{\circ} + k 360^{\circ}$
$= 45^{\circ} + (k + 1) 360^{\circ} = 45^{\circ} + m 360^{\circ} (m = k + 1, m \in Z)$ .
Vậy các góc lượng giác $(O u, O v)$ có số đo là $45^{\circ} + m 360^{\circ} (m \in Z)$ .

Luyện tập 2

Dạng bài: Tính số đo góc lượng giác

Cho một góc lượng giác $(O x, O u)$ có số đo $240^{\circ}$ và một góc lượng giác $(O x, O v)$ có số đo $- 270^{\circ}$ . Tính số đo của các góc lượng giác $(O u, O v)$ .

2. Đơn vị đo góc và độ dài cung tròn

a) Đơn vị đo góc và cung tròn

Đơn vị độ

Để đo góc, ta dùng đơn vị độ. Ta đã biết: Góc $1^{\circ}$ bằng $\frac{1}{180}$ góc bẹt.

Đơn vị độ được chia thành những đơn vị nhỏ hơn: $1^{\circ} = 60^{'}$ ; $1^{'} = 60^{''}$ .

Đối với các góc lượng giác, khi mà số vòng quay trong chuyển động tương ứng từ tia đầu đến tia cuối là khá lớn thì số đo của chúng tính bằng độ sẽ trở nên cồng kềnh. Do đó, trong khoa học và kĩ thuật, bên cạnh việc đo bằng độ, người ta còn sử dụng đơn vị đo góc bằng radian.

Đơn vị rađian

Cho đường tròn $(O)$ tâm $O$ , bán kính $R$ và một cung $A B$ trên $(O)$ (H.1.6).

Ta nói cung tròn $A B$ có số đo bằng $1$ rađian nếu độ dài của nó đúng bằng bán kính $R$ . Khi đó ta cũng nói rằng góc $A O B$ có số đo bằng $1$ radian và viết: $A O B = 1 r a d$ .

Hình 1.6. Hình tròn tâm O, bán kính R, với cung AB có độ dài bằng R, tương ứng với góc

A O B = 1 r a d

Quan hệ giữa độ và rađian: Do đường tròn có độ dài là $2 π R$ nên nó có số đo $2 π r a d$ . Mặt khác, đường tròn có số đo bằng $360^{\circ}$ nên ta có $360^{\circ} = 2 π r a d$ .

$1^{\circ} = \frac{π}{180} r a d v \overset{ˋ}{a} 1 r a d = {(\frac{180}{π})}^{\circ}$

Chú ý

Khi viết số đo của một góc theo đơn vị rađian, người ta thường không viết chữ rad sau số đo. Chẳng hạn góc $\frac{π}{2}$ được hiểu là góc $\frac{π}{2} r a d$ .

Ví dụ 3

Dạng bài: Đổi đơn vị đo góc

a) Đổi từ độ sang rađian các số đo sau: $45^{\circ}$ ; $150^{\circ}$ .
b) Đổi từ rađian sang độ các số đo sau: $\frac{π}{3}$ ; $\frac{5 π}{4}$ .

Hình/bảng: Hai hình vẽ minh họa công thức đổi đơn vị: $a^{\circ} = a \cdot \frac{\pi}{180} rad$ và $a \text{ rad} = \left(a \cdot \frac{180}{\pi}\right)^{\circ}$.

Lời giải

Giải
a) Ta có:
$45^{\circ} = 45 \cdot \frac{π}{180} = \frac{π}{4}$
$150^{\circ} = 150 \cdot \frac{π}{180} = \frac{5 π}{6}$
b) Ta có:
$\frac{π}{3} = {(\frac{π}{3} \cdot \frac{180}{π})}^{\circ} = 60^{\circ}$ ;
$\frac{5 π}{4} = {(\frac{5 π}{4} \cdot \frac{180}{π})}^{\circ} = 225^{\circ}$ .

Luyện tập 3

Dạng bài: Đổi đơn vị đo góc

a) Đổi từ độ sang rađian các số đo sau: $360^{\circ}$ ; $- 450^{\circ}$ ;
b) Đổi từ rađian sang độ các số đo sau: $3 π$ ; $\frac{11 π}{5}$ .

Chú ý

Dưới đây là bảng tương ứng giữa số đo bằng độ và số đo bằng rađian của các góc đặc biệt trong phạm vi từ $0^{\circ}$ đến $180^{\circ}$ .

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Độ} & 0^{\circ} & 30^{\circ} & 45^{\circ} & 60^{\circ} & 90^{\circ} & 120^{\circ} & 135^{\circ} & 150^{\circ} & 180^{\circ} \\
\hline
\text{Radian} & 0 & \frac{\pi}{6} & \frac{\pi}{4} & \frac{\pi}{3} & \frac{\pi}{2} & \frac{2\pi}{3} & \frac{3\pi}{4} & \frac{5\pi}{6} & \pi \\
\hline
\end{array}

b) Độ dài cung tròn

HĐ3. Xây dựng công thức tính độ dài của cung tròn

Dạng bài: Xây dựng công thức độ dài cung tròn

Cho đường tròn bán kính $R$ .
a) Độ dài của cung tròn có số đo bằng $1 r a d$ là bao nhiêu?
b) Tính độ dài $l$ của cung tròn có số đo $α$ rad.

Một cung của đường tròn bán kính $R$ và có số đo $α$ rad thì có độ dài $l = R α$ .

Ví dụ 4

Dạng bài: Giải quyết vấn đề thực tiễn

Giải bài toán ở tình huống mở đầu.

Lời giải

Giải
Bán kính quỹ đạo của trạm vũ trụ quốc tế là $R = 6400 + 400 = 6800 (k m)$ .
Đổi $45^{\circ} = 45 \cdot \frac{π}{180} = \frac{π}{4} r a d$ .

Vậy trong khi được trạm mặt đất theo dõi, trạm ISS đã di chuyển một quãng đường có độ dài là
$l = R α = 6800 \cdot \frac{π}{4} \approx 5340, 708 \approx 5341 (k m)$ .

Vận dụng 1

Dạng bài: Giải quyết vấn đề thực tiễn

Một máy kéo nông nghiệp với bánh xe sau có đường kính là $184 c m$ , bánh xe trước có đường kính là $92 c m$ , xe chuyển động với vận tốc không đổi trên một đoạn đường thẳng. Biết rằng vận tốc của bánh xe sau trong chuyển động này là $80$ vòng/phút.
a) Tính quãng đường đi được của máy kéo trong $10$ phút.
b) Tính vận tốc của máy kéo (theo đơn vị $k m / g i ờ$ ).
c) Tính vận tốc của bánh xe trước (theo đơn vị vòng/phút).

Hình/bảng: Hình ảnh một máy kéo nông nghiệp.

a) Đường tròn lượng giác

HĐ4. Nhận biết khái niệm đường tròn lượng giác

Dạng bài: Nhận biết khái niệm đường tròn lượng giác

Trong mặt phẳng toạ độ $O x y$ , vẽ đường tròn tâm $O$ bán kính $R = 1$ . Chọn điểm gốc của đường tròn là giao điểm $A (1; 0)$ của đường tròn với trục $O x$ . Ta quy ước chiều dương của đường tròn là chiều ngược chiều quay của kim đồng hồ và chiều âm là chiều quay của kim đồng hồ.
a) Xác định điểm $M$ trên đường tròn sao cho $s đ (O A, O M) = \frac{5 π}{4}$ .
b) Xác định điểm $N$ trên đường tròn sao cho $s đ (O A, O N) = - \frac{7 π}{4}$ .

Đường tròn lượng giác là đường tròn có tâm tại gốc toạ độ, bán kính bằng $1$ , được định hướng và lấy điểm $A (1; 0)$ làm điểm gốc của đường tròn.

Điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác có số đo $α$ (độ hoặc rađian) là điểm $M$ trên đường tròn lượng giác sao cho $s đ (O A, O M) = α$ .

Hình 1.7. Đường tròn lượng giác với điểm A(1,0) và một điểm M biểu diễn góc

α

Ví dụ 5

Dạng bài: Xác định điểm biểu diễn góc lượng giác

Xác định các điểm $M$ và $N$ trên đường tròn lượng giác lần lượt biểu diễn các góc lượng giác có số đo bằng $\frac{13 π}{4}$ và $- 150^{\circ}$ .

Hình/bảng: Hình 1.8: Đường tròn lượng giác với điểm M biểu diễn góc $\frac{13\pi}{4}$ và điểm N biểu diễn góc $-150^{\circ}$.

Lời giải

Giải
Điểm $M$ trên đường đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác có số đo bằng $\frac{13 π}{4}$ được xác định trong Hình 1.8.
Điểm $N$ trên đường đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác có số đo bằng $- 150^{\circ}$ được xác định trong Hình 1.8.

Luyện tập 4

Dạng bài: Xác định điểm biểu diễn góc lượng giác

Xác định các điểm $M$ và $N$ trên đường tròn lượng giác lần lượt biểu diễn các góc lượng giác có số đo bằng $\frac{15 π}{4}$ và $420^{\circ}$ .

HĐ4. Nhắc lại khái niệm các giá trị lượng giác sin $\alpha$, cos $\alpha$, tan $\alpha$, cot $\alpha$ của góc $\alpha$ ($0^{\circ} \le \alpha \le 180^{\circ}$) đã học ở lớp 10 (H.1.9a).

Dạng bài: Nhắc lại khái niệm giá trị lượng giác

Hình/bảng: Hình 1.9a: Đường tròn đơn vị trong hệ trục tọa độ, với góc $\alpha$ và các giá trị $x_0, y_0$ tương ứng với cos $\alpha$, sin $\alpha$.

Ta có thể mở rộng khái niệm giá trị lượng giác cho các góc lượng giác có số đo tuỳ ý như sau:
Giả sử $M (x; y)$ là điểm trên đường tròn lượng giác, biểu diễn góc lượng giác có số đo $α$ (H.1.9b).

Hình 1.9b. Đường tròn lượng giác với điểm M(x; y) biểu diễn góc

α

, trục hoành là cos

α

, trục tung là sin

α

Chú ý

Hoành độ $x$ của điểm $M$ được gọi là côsin của $α$ , kí hiệu là $\cos α$ .

$\cos α = x$ .

Tung độ $y$ của điểm $M$ được gọi là sin của $α$ , kí hiệu là $\sin α$ .

$\sin α = y$ .

Nếu $\cos α \neq 0$ , tỉ số $\frac{\sin α}{\cos α}$ được gọi là tang của $α$ , kí hiệu là $\tan α$ .

$\tan α = \frac{\sin α}{\cos α} = \frac{y}{x} (x \neq 0)$ .

Nếu $\sin α \neq 0$ , tỉ số $\frac{\cos α}{\sin α}$ được gọi là côtang của $α$ , kí hiệu là $\cot α$ .

$\cot α = \frac{\cos α}{\sin α} = \frac{x}{y} (y \neq 0)$ .

Các giá trị $\cos α, \sin α, \tan α, \cot α$ được gọi là các giá trị lượng giác của $α$ .

Chú ý

a) Ta còn gọi trục tung là trục sin, trục hoành là trục côsin.
b) Từ định nghĩa ta suy ra:

$\sin α, \cos α$ xác định với mọi giá trị của $α$ và ta có:

$- 1 \leq \sin α \leq 1$ ; $- 1 \leq \cos α \leq 1$ ; $\sin (α + k 2 π) = \sin α$ ; $\cos (α + k 2 π) = \cos α (k \in Z)$ .

$\tan α$ xác định khi $α \neq \frac{π}{2} + k π (k \in Z)$ .
$\cot α$ xác định khi $α \neq k π (k \in Z)$ .

Dấu của các giá trị lượng giác của một góc lượng giác phụ thuộc vào vị trí điểm biểu diễn $M$ trên đường tròn lượng giác (H.1.10).

\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Giá trị} & \text{I} & \text{II} & \text{III} & \text{IV} \\
\text{lượng giác} & & & & \\
\hline
\cos \alpha & + & - & - & + \\
\hline
\sin \alpha & + & + & - & - \\
\hline
\tan \alpha & + & - & + & - \\
\hline
\cot \alpha & + & - & + & - \\
\hline
\end{array}

Hình 1.10. Đường tròn lượng giác chia thành 4 góc phần tư, với các trục tọa độ và điểm M biểu diễn góc

α

Ví dụ 5

Dạng bài: Tính giá trị lượng giác

Cho góc lượng giác có số đo bằng $- \frac{π}{3}$ .
a) Xác định điểm $M$ trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác đã cho.
b) Tính các giá trị lượng giác của góc lượng giác đã cho.

Hình/bảng: Hình 1.11: Đường tròn lượng giác với điểm M biểu diễn góc $-\frac{\pi}{3}$, các giá trị sin và cos tương ứng.

Lời giải

Giải
a) Điểm $M$ trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác có số đo là $- \frac{π}{3}$ được xác định trong Hình 1.11.
b) Ta có:
$\cos (- \frac{π}{3}) = \frac{1}{2}$ ; $\sin (- \frac{π}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ ;
$\tan (- \frac{π}{3}) = \frac{\sin (- \frac{π}{3})}{\cos (- \frac{π}{3})} = \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = - \sqrt{3}$ ;
$\cot (- \frac{π}{3}) = \frac{\cos (- \frac{π}{3})}{\sin (- \frac{π}{3})} = \frac{\frac{1}{2}}{- \frac{\sqrt{3}}{2}} = - \frac{1}{\sqrt{3}}$ .

Luyện tập 4

Dạng bài: Tính giá trị lượng giác

Cho góc lượng giác có số đo bằng $\frac{5 π}{6}$ .
a) Xác định điểm $M$ trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác đã cho.
b) Tính các giá trị lượng giác của góc lượng giác đã cho.

c) Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Góc } \alpha & 0 & \frac{\pi}{6} & \frac{\pi}{4} & \frac{\pi}{3} & \frac{\pi}{2} \\
& 0^{\circ} & 30^{\circ} & 45^{\circ} & 60^{\circ} & 90^{\circ} \\
\hline
\sin \alpha & 0 & \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & 1 \\
\hline
\cos \alpha & 1 & \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\
\hline
\tan \alpha & 0 & \frac{1}{\sqrt{3}} & 1 & \sqrt{3} & \text{Không xác định} \\
\hline
\cot \alpha & \text{Không xác định} & \sqrt{3} & 1 & \frac{1}{\sqrt{3}} & 0 \\
\hline
\end{array}

d) Sử dụng máy tính cầm tay để đổi số đo góc và tìm giá trị lượng giác của góc

Có thể dùng máy tính cầm tay để tính giá trị lượng giác của góc lượng giác và đổi số đo độ của cung tròn ra rađian và ngược lại.

Ví dụ 6

Dạng bài: Sử dụng máy tính cầm tay

Sử dụng máy tính cầm tay để tính: $\sin (- \frac{9 π}{4})$ ; $\tan 63^{\circ} 52^{'} 41^{''}$ (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ tư).

Lời giải

Giải

\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\text{Tính} & \text{Bấm phím} & \text{Màn hình hiện} & \text{Kết quả} \\
\hline
\sin\left(-\frac{9\pi}{4}\right) & \text{MODE MODE MODE 2 sin ( - 9 \pi \div 4 ) =} & -0.707106781 & -0,7071 \\
\hline
\tan 63^{\circ}52'41'' & \text{MODE MODE MODE 1 tan 6 3 \circ 5 2 ' 4 1 '' =} & 2.039276645 & 2,0393 \\
\hline
\end{array}

Ví dụ 7

Dạng bài: Sử dụng máy tính cầm tay để đổi đơn vị góc

a) Đổi $33^{\circ} 45^{'}$ sang radian;
b) Đổi $\frac{3}{4}$ (rad) sang độ.

Lời giải

Giải

\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\text{Đổi} & \text{Bấm phím} & \text{Màn hình hiện} & \text{Kết quả} \\
\text{số đo} & & & \\
\hline
33^{\circ}45' & \text{MODE MODE MODE 2 3 3 \circ 4 5 ' SHIFT DRG \triangleright 1 =} & 0.589048622 & 0,5890 \text{ (rad)} \\
\hline
\frac{3}{4} \text{ (rad)} & \text{MODE MODE MODE 1 3 \div 4 SHIFT DRG \triangleright 2 =} & 42^{\circ}58'19'' & 42^{\circ}58'19'' \\
\hline
\end{array}

Luyện tập 5

Dạng bài: Sử dụng máy tính cầm tay

Sử dụng máy tính cầm tay để:
a) Tính: $\cos \frac{3 π}{7}$ ; $\tan (- 37^{\circ} 25^{'})$ ;
b) Đổi $179^{\circ} 23^{'} 30^{''}$ sang radian;
c) Đổi $- \frac{7}{9}$ (rad) sang độ.

4. Quan hệ giữa các giá trị lượng giác

a) Các công thức lượng giác cơ bản

HĐ5. Nhận biết các công thức lượng giác cơ bản

Dạng bài: Nhận biết công thức lượng giác cơ bản

a) Dựa vào định nghĩa của $\sin α$ và $\cos α$ , hãy tính $\sin^{2} α + \cos^{2} α$ .
b) Sử dụng kết quả của HĐ5a và định nghĩa của $\tan α$ , hãy tính $1 + \tan^{2} α$ .

Đối với các giá trị lượng giác, ta có các hệ thức cơ bản sau:

$\sin^{2} α + \cos^{2} α = 1$
$1 + \tan^{2} α = \frac{1}{\cos^{2} α} (α \neq \frac{π}{2} + k π, k \in Z)$
$1 + \cot^{2} α = \frac{1}{\sin^{2} α} (α \neq k π, k \in Z)$
$\tan α \cdot \cot α = 1 (α \neq \frac{k π}{2}, k \in Z)$

Ví dụ 8

Dạng bài: Tính giá trị lượng giác

Tính các giá trị lượng giác của góc $α$ , biết: $\sin α = \frac{3}{5}$ và $90^{\circ} < α < 180^{\circ}$ .

Lời giải

Giải
Vì $90^{\circ} < α < 180^{\circ}$ nên $\cos α < 0$ . Mặt khác, từ $\sin^{2} α + \cos^{2} α = 1$ suy ra
$\cos α = - \sqrt{1 - \sin^{2} α} = - \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = - \frac{4}{5}$ .
Do đó, $\tan α = \frac{\sin α}{\cos α} = \frac{\frac{3}{5}}{- \frac{4}{5}} = - \frac{3}{4}$ và $\cot α = \frac{1}{\tan α} = - \frac{4}{3}$ .

Luyện tập 6

Dạng bài: Tính giá trị lượng giác

Tính các giá trị lượng giác của góc $u$ , biết: $\cos u = - \frac{2}{3}$ và $π < u < \frac{3 π}{2}$ .

b) Giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt

HĐ6. Nhận biết liên hệ giữa giá trị lượng giác của các góc đối nhau

Dạng bài: Nhận biết liên hệ giữa giá trị lượng giác

Xét hai điểm $M, N$ trên đường tròn lượng giác xác định bởi hai góc đối nhau (H1.12a).
a) Có nhận xét gì về vị trí của hai điểm $M, N$ đối với hệ trục $O x y$ . Từ đó rút ra liên hệ giữa:
$\cos (- α)$ và $\cos α$ ; $\sin (- α)$ và $\sin α$ .
b) Từ kết quả HĐ6a, rút ra liên hệ giữa: $\tan (- α)$ và $\tan α$ ; $\cot (- α)$ và $\cot α$ .

Với kết quả HĐ6, ta có liên hệ giữa các giá trị lượng giác:

Góc đối nhau ($\alpha$ và $-\alpha$)

$\cos (- α) = \cos α$
$\sin (- α) = - \sin α$
$\tan (- α) = - \tan α$
$\cot (- α) = - \cot α$

Hình 1.12a. Đường tròn lượng giác với hai điểm M và N biểu diễn góc

α

và

- α

Tương tự HĐ6, ta cũng có liên hệ giữa giá trị lượng giác của các góc bù nhau, phụ nhau và hơn kém $π$ , như sau:

Góc bù nhau ($\alpha$ và $\pi-\alpha$)

$\sin (π - α) = \sin α$
$\cos (π - α) = - \cos α$
$\tan (π - α) = - \tan α$
$\cot (π - α) = - \cot α$

Hình 1.12b. Đường tròn lượng giác với hai điểm M và N biểu diễn góc

α

và

π - α

Góc phụ nhau ($\alpha$ và $\frac{\pi}{2}-\alpha$)

$\sin (\frac{π}{2} - α) = \cos α$
$\cos (\frac{π}{2} - α) = \sin α$
$\tan (\frac{π}{2} - α) = \cot α$
$\cot (\frac{π}{2} - α) = \tan α$

Hình 1.12c. Đường tròn lượng giác với hai điểm M và N biểu diễn góc

α

và

\frac{π}{2} - α

Góc hơn kém $\pi$ ($\alpha$ và $\pi+\alpha$)

$\sin (π + α) = - \sin α$
$\cos (π + α) = - \cos α$
$\tan (π + α) = \tan α$
$\cot (π + α) = \cot α$

Hình 1.12d. Đường tròn lượng giác với hai điểm M và N biểu diễn góc

α

và

π + α

Chú ý

Nhờ các công thức trên, ta có thể đưa việc tính giá trị lượng giác của một góc lượng giác bất kì về việc tính giá trị lượng giác của góc $α$ với $0 \leq α \leq \frac{π}{2}$ .

Ví dụ 9

Dạng bài: Tính giá trị lượng giác

Tính: a) $\cos \frac{11 π}{4}$
b) $\cot (- 675^{\circ})$ .

Lời giải

Giải. Ta có:
a) $\cos \frac{11 π}{4} = \cos (3 π - \frac{π}{4}) = \cos (2 π + π - \frac{π}{4}) = \cos (π - \frac{π}{4}) = - \cos \frac{π}{4} = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .
b) $\cot (- 675^{\circ}) = \cot (45^{\circ} - 2 \cdot 360^{\circ}) = \cot 45^{\circ} = 1$ .

Luyện tập 7

Dạng bài: Tính giá trị lượng giác

Tính: a) $\sin (- 675^{\circ})$ ;
b) $\tan \frac{15 π}{4}$ .

Vận dụng 2

Dạng bài: Giải quyết vấn đề thực tiễn

Huyết áp của mỗi người thay đổi trong ngày. Giả sử huyết áp tâm trương (tức là áp lực máu lên thành động mạch khi tim giãn ra) của một người nào đó ở trạng thái nghỉ ngơi tại thời điểm $t$ được cho bởi công thức:
$B (t) = 80 + 7 \sin \frac{π t}{12}$
trong đó $t$ là số giờ tính từ lúc nửa đêm và $B (t)$ tính bằng $m m H g$ (milimét thuỷ ngân).
Tìm huyết áp tâm trương của người này vào các thời điểm sau:
a) 6 giờ sáng;
b) 10 giờ 30 phút sáng;
c) 12 giờ trưa;
d) 8 giờ tối.

Bài tập

1.1

Dạng bài: Đổi đơn vị đo góc

Hoàn thành bảng sau:

Hình/bảng: Bảng với các hàng 'Số đo độ' và 'Số đo rađian', một số ô đã cho giá trị, một số ô cần điền.

1.2

Dạng bài: Tính độ dài cung tròn

Một đường tròn có bán kính $20 c m$ . Tìm độ dài của các cung trên đường tròn đó có số đo sau:
a) $\frac{π}{12}$ ;
b) $1, 5$ ;
c) $35^{\circ}$ ;
d) $315^{\circ}$ .

1.3

Dạng bài: Xác định điểm biểu diễn góc lượng giác

Trên đường tròn lượng giác, xác định điểm $M$ biểu diễn các góc lượng giác có số đo sau:
a) $\frac{2 π}{3}$ ;
b) $- \frac{11 π}{4}$ ;
c) $150^{\circ}$ ;
d) $- 225^{\circ}$ .

1.4

Dạng bài: Tính giá trị lượng giác

Tính các giá trị lượng giác của góc $α$ , biết:
a) $\cos α = \frac{1}{5}$ và $0 < α < \frac{π}{2}$ ;
b) $\sin α = - \frac{2}{3}$ và $π < α < \frac{3 π}{2}$ ;
c) $\tan α = \sqrt{5}$ và $π < α < \frac{3 π}{2}$ ;
d) $\cot α = - \frac{1}{\sqrt{2}}$ và $\frac{3 π}{2} < α < 2 π$ .

1.5

Dạng bài: Chứng minh đẳng thức lượng giác

Chứng minh các đẳng thức:
a) $\cos^{4} α - \sin^{4} α = 2 \cos^{2} α - 1$ ;
b) $\frac{\cos^{2} α + \tan^{2} α - 1}{\sin^{2} α} = \tan^{2} α$ .

1.6

Dạng bài: Giải quyết vấn đề thực tiễn

Bánh xe của người đi xe đạp quay được $11$ vòng trong $5$ giây.
a) Tính góc (theo độ và rađian) mà bánh xe quay được trong $1$ giây.
b) Tính độ dài quãng đường mà người đi xe đã đi được trong $1$ phút, biết rằng đường kính của bánh xe đạp là $680 m m$ .

1.1

Dạng bài: Chuyển đổi đơn vị góc

Hoàn thành bảng sau:
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
Số đo độ & 15^{\circ} & ? & 0^{\circ} & 900^{\circ} & ? & ? \\
\hline
Số đo rađian & ? & \frac{3\pi}{8} & ? & ? & \frac{7\pi}{12} & \frac{11\pi}{8} \\
\hline
\end{array}

Xem bản PDF nguyên trang sách: Toán 11 tập 1 – Kết nối tri thức với cuộc sống (trang 5–16).