Bài 16. Giới hạn của hàm số

Giả sử $(a;b)$ là một khoảng chứa điểm $x_0$ và hàm số $y=f(x)$ xác định trên khoảng $(a;b)$, có thể trừ điểm $x_0$. Ta nói hàm số $f(x)$ có giới hạn là số L khi x dần tới $x_0$ nếu với dãy số $(x_n)$ bất kì, $x_n\in (a;b)$, $x_n\mathrm{\ne }{x}_0$ và $x_n\to x_0$, ta có $f(x_n)\to L$, kí hiệu ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=L$ hay $f(x)\to L$ khi $x\to x_0$.

Cho hàm số $y=f(x)$ xác định trên khoảng $(x_0;b)$. Ta nói số L là giới hạn bên phải của $f(x)$ khi $x\to x_0^{+}$ nếu với dãy số $(x_n)$ bất kì thoả mãn $x_0<x_n<b$ và $x_n\to x_0$, ta có $f(x_n)\to L$, kí hiệu ${\lim }_{x\to x_0^{+}}f(x)=L$.

Cho hàm số $y=f(x)$ xác định trên khoảng $(a;x_0)$. Ta nói số L là giới hạn bên trái của $f(x)$ khi $x\to x_0^{-}$ nếu với dãy số $(x_n)$ bất kì thoả mãn $a<x_n<x_0$ và $x_n\to x_0$, ta có $f(x_n)\to L$, kí hiệu ${\lim }_{x\to x_0^{-}}f(x)=L$.

a) Nếu ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=Lv\dot{a}{\lim }_{x\to x_0}g(x)=Mthi$ ${\lim }_{x\to x_0}C=C$ với c là hằng số. . ${\lim }_{x\to x_0}{x}^n=x_0^n$ với $n\in \mathbb{N}$. ${\lim }_{x\to x_0}[f(x)+g(x)]=L+M$ ; ${\lim }_{x\to x_0}[f(x)-g(x)]=L-M;$ ${\lim }_{x\to x_0}[f(x)\cdot g(x)]=L\cdot M;$ ${\lim }_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{L}{M},$ nếu $M\mathrm{\ne }0$. b) Nếu $f(x)\ge 0$ với mọi $x\in (a;b)\mathrm{\backslash }\{x_0\}$ và ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=L$ thi $L\ge 0$ và ${\lim }_{x\to x_0}\sqrt{f(x)}=\sqrt{L}$

Cho hàm số $y=f(x)$ xác định trên khoảng $(x_0;b)$. Ta nói số L là giới hạn bên phải của $f(x)$ khi $x\to x_0$ nếu với dãy số $(x_n)$ bất kì thoả mãn $x_0<x_n<b$ và $x_n\to x_0$ ta có $f(x_n)\to L$ kí hiệu ${\lim }_{x\to x_0^{+}}f(x)=L$ . Cho hàm số $y=f(x)$ xác định trên khoảng $(a;x_0)\mathrm{.}$ Ta nói số L là giới hạn bên trái của $f(x)$ khi $X\to X_0$ nếu với dãy số $(x_n)$ bất kì thoả mãn $a<x_n<x_0$ và $x_n\to x_0$ ta có $f(x_n)\to L$, kí hiệu ${\lim }_{x\to x_0^{-}}f(x)=L$

${\lim }_{x\to x_0}f(x)=L$ khi và chỉ khi ${\lim }_{x\to x_0^{+}}f(x)={\lim }_{x\to x_0}f(x)=L$

Cho hàm số $y=f(x)$ xác định trên khoảng $(a;+\mathrm{\infty })$. Ta nói hàm số $f(x)$ có giới hạn là số L khi $x\to +\mathrm{\infty }$ nếu với dãy số $(x_n)$ bất kì, $x_n>a$ và $X_n\to +\mathrm{\infty }$ ta có $f(x_n)\to L$ kí hiệu ${\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}f(x)=L$ hay $f(x)\to L$ khi $x\to +\mathrm{\infty }$ . Cho hàm số $y=f(x)$ xác định trên khoảng $(-\mathrm{\infty };b)$. Ta nói hàm số $f(x)$ có giới hạn là số L khi $x\to -\mathrm{\infty }$ nếu với dãy số $(x_n)$ bất kì, $X_n<b$ và $x_n\to -\mathrm{\infty }$ ta có $f(x_n)\to L,$ kí hiệu ${\lim }_{x\to -\mathrm{\infty }}f(x)=L$ hay $f(x)\to L$ khi $x\to -\mathrm{\infty }\mathrm{.}$

Giả sử khoảng (a; b) chứa x và hàm số $y=f(x)$ xác định trên $(a;b)\mathrm{\backslash }\{x_0\}$ Ta nói hàm số $f(x)$ có giới hạn + khi $X\to X_0$ nếu với dãy số $(x_n)$ bất kì, $x_n\in (a;b)\mathrm{\backslash }\{x_0\},$ $x_n\to x_0$ ta có $f(x_n)\to +\mathrm{\infty }$, kí hiệu ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=+\mathrm{\infty }$ . Ta nói hàm số $f(x)$ có giới hạn – khi $x\to x_0,$ kí hiệu ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=-\mathrm{\infty }$ nếu ${\lim }_{x\to x_0}[-f(x)]=+\mathrm{\infty }\mathrm{.}$

Cho hàm số $y=f(x)$ xác định trên khoảng $(x_0;b)$. Ta nói hàm số $f(x)$ có giới hạn $+\mathrm{\infty }$ khi $X\to X_0$ về bên phải nếu với dãy số $(X_n)$ bất kì thoả mãn $x_0<x_n<b$ $X_n\to X_{0^{\mathrm{\prime }}}$ ta có $f(x_n)\to +\mathrm{\infty },$ kí hiệu ${\lim }_{x\to x_0^{+}}f(x)=+\mathrm{\infty }$ . Cho hàm số $y=f(x)$ xác định trên khoảng $(a;x_0)$. Ta nói hàm số $f(x)$ có giới hạn $+\mathrm{\infty }$ khi $X\to X_0$ về bên trái nếu với dãy số $(x_n)$ bất kì thoả mãn $a<X_n<x_0$ $X_n\to X_0$ ta có $f(x_n)\to +\mathrm{\infty },$ kí hiệu ${\lim }_{x\to x_0^{-}}f(x)=+\mathrm{\infty }$ . Các giới hạn một bên ${\lim }_{x\to x_0^{+}}f(x)=-\mathrm{\infty }$ và ${\lim }_{x\to x_0^{-}}f(x)=-\mathrm{\infty }$ được định nghĩa tương tự.

Quy tắc tìm giới hạn của tích $f(x)g(x)$. Giả sử ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=L\mathrm{\ne }0$ và ${\lim }_{x\to x_0}g(x)=+\mathrm{\infty }$ (hoặc $-\mathrm{\infty }$ ). Khi đó ${\lim }_{x\to x_0}f(x)g(x)$ được tính theo quy tắc cho trong bảng sau: \begin{array}{|c|c|c|} \hline lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x) & lim_{x\rightarrow x_{0}}g(x) & lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)g(x) \\ \hline L>0 & +\infty & +\infty \\ \hline L>0 & -\infty & -\infty \\ \hline L<0 & +\infty & -\infty \\ \hline L<0 & -\infty & +\infty \\ \hline \end{array}

Quy tắc tìm giới hạn của thương $\frac{f(x)}{g(x)}\mathrm{.}$ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x) & lim_{x\rightarrow x_{0}}g(x) & \text{Dấu của } g(x) & lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f(x)}{g(x)} \\ \hline L & \pm\infty & \text{Tuỳ ý} & 0 \\ \hline L>0 & 0 & + & +\infty \\ \hline L>0 & 0 & - & -\infty \\ \hline L<0 & 0 & + & -\infty \\ \hline L<0 & 0 & - & +\infty \\ \hline \end{array}