Bài 2. Công thức lượng giác – Toán 11 tập 1 Kết nối tri thức

Yêu cầu cần đạt

Mô tả các phép biến đổi lượng giác cơ bản: công thức cộng; công thức góc nhân đôi; công thức biến đổi tích thành tổng và công thức biến đổi tổng thành tích.
Giải quyết một số vấn đề thực tiễn gắn với giá trị lượng giác của góc lượng giác và các phép biến đổi lượng giác.

Thuật ngữ: Công thức cộng · Công thức nhân đôi · Công thức biến đổi tích thành tổng · Công thức biến đổi tổng thành tích

Một thiết bị trễ kĩ thuật số lặp lại tín hiệu đầu vào bằng cách lặp lại tín hiệu đó trong một khoảng thời gian cố định sau khi nhận được tín hiệu. Nếu một thiết bị như vậy nhận được nốt thuần $f_{1} (t) = 5 \sin t$ và phát lại được nốt thuần $f_{2} (t) = 5 \cos t$ thì âm kết hợp là $f (t) = f_{1} (t) + f_{2} (t)$ , trong đó $t$ là biến thời gian. Chứng tỏ rằng âm kết hợp viết được dưới dạng $f (t) = k \sin (t + φ)$ , tức là âm kết hợp là một sóng âm hình sin. Hãy xác định biên độ âm $k$ và pha ban đầu $φ (- π \leq φ \leq π)$ của sóng âm.

1. Công thức cộng

HĐ1. Nhận biết công thức cộng

Dạng bài: Nhận biết công thức cộng

a) Cho $a = \frac{π}{4}$ và $b = \frac{π}{6}$ , hãy chứng tỏ $\cos (a - b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b$ .
b) Bằng cách viết $a + b = a - (- b)$ và từ công thức ở HĐ1a, hãy tính $\cos (a + b)$ .
c) Bằng cách viết $\sin (a - b) = \cos (\frac{π}{2} - (a - b)) = \cos ((\frac{π}{2} - a) + b)$ và sử dụng công thức vừa thiết lập ở HĐ1b, hãy tính $\sin (a - b)$ .

$\cos (a - b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b$
$\cos (a + b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b$
$\sin (a - b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b$
$\sin (a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b$
$\tan (a - b) = \frac{\tan a - \tan b}{1 + \tan a \tan b}$
$\tan (a + b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \tan b}$
(giả thiết các biểu thức đều có nghĩa).

Ví dụ 1

Dạng bài: Tính giá trị lượng giác

Không dùng máy tính, hãy tính:
a) $\cos 75^{\circ}$ ;
b) $\tan \frac{π}{12}$ .

THUẬT NGỮ

Công thức cộng
Công thức nhân đôi
Công thức biến đổi tích thành tổng
Công thức biến đổi tổng thành tích

KIẾN THỨC, KĨ NĂNG

Mô tả các phép biến đổi lượng giác cơ bản: công thức cộng; công thức góc nhân đôi; công thức biến đổi tích thành tổng và công thức biến đổi tổng thành tích.
Giải quyết một số vấn đề thực tiễn gắn với giá trị lượng giác của góc lượng giác và các phép biến đổi lượng giác.

HĐ1

Dạng bài: Chứng minh công thức cộng

Nhận biết công thức cộng
a) Cho $α = \frac{π}{4}$ và $b = \frac{π}{6}$ , hãy chứng tỏ $\cos (α - b) = \cos α \cos b + \sin α \sin b$ .
b) Bằng cách viết $α + b = α - (- b)$ và từ công thức ở HĐ1a, hãy tính $\cos (α + b)$ .
c) Bằng cách viết $\sin (α - b) = \cos (\frac{π}{2} - (α - b)) = \cos (\frac{π}{2} - α + b)$ và sử dụng công thức vừa thiết lập ở HĐ1b, hãy tính $\sin (α - b)$ .

$\cos (α - b) = \cos α \cos b + \sin α \sin b$
$\cos (α + b) = \cos α \cos b - \sin α \sin b$
$\sin (α - b) = \sin α \cos b - \cos α \sin b$
$\sin (α + b) = \sin α \cos b + \cos α \sin b$
$\tan (α - b) = \frac{\tan α - \tan b}{1 + \tan α \tan b}$
$\tan (α + b) = \frac{\tan α + \tan b}{1 - \tan α \tan b}$
(giả thiết các biểu thức đều có nghĩa).

Ví dụ 2

Dạng bài: Chứng minh đẳng thức lượng giác

Chứng minh rằng $\sin x + \cos x = \sqrt{2} \sin (x + \frac{π}{4})$

Lời giải

Giải
Ta có:
$\sqrt{2} \sin (x + \frac{π}{4}) = \sqrt{2} (\sin x \cos \frac{π}{4} + \cos x \sin \frac{π}{4}) = \sqrt{2} (\sin x \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos x \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) = \sin x + \cos x$ .
Đẳng thức được chứng minh.

Luyện tập 1

Dạng bài: Chứng minh đẳng thức lượng giác

Chứng minh rằng:
a) $\sin x - \cos x = \sqrt{2} \sin (x - \frac{π}{4})$
b) $\tan (\frac{π}{4} - x) = \frac{1 - \tan x}{1 + \tan x}$ ( $x \neq \frac{π}{2} + k π$ , $x \neq \frac{3 π}{4} + k π$ , $k \in Z$ ).

Vận dụng 1

Dạng bài: Giải bài toán thực tế

Giải bài toán trong tình huống mở đầu.

2. Công thức nhân đôi

HĐ2

Dạng bài: Xây dựng công thức nhân đôi

Xây dựng công thức nhân đôi
Lấy $b = α$ trong các công thức cộng, hãy tìm công thức tính: $\sin 2 α$ ; $\cos 2 α$ ; $\tan 2 α$ .

$\sin 2 α = 2 \sin α \cos α$
$\cos 2 α = \cos^{2} α - \sin^{2} α = 2 \cos^{2} α - 1 = 1 - 2 \sin^{2} α$
$\tan 2 α = \frac{2 \tan α}{1 - \tan^{2} α}$

Ví dụ 3

Dạng bài: Tính giá trị lượng giác bằng công thức nhân đôi

Cho $\cos α = - \frac{1}{3}$ ( $\frac{π}{2} < α < π$ ). Tính $\sin 2 α$ .

Lời giải

Giải
Vì $\frac{π}{2} < α < π$ nên $\sin α > 0$ . Do đó $\sin α = \sqrt{1 - \cos^{2} α} = \sqrt{1 - {(- \frac{1}{3})}^{2}} = \sqrt{1 - \frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ .
Vậy $\sin 2 α = 2 \sin α \cos α = 2 \cdot \frac{2 \sqrt{2}}{3} \cdot (- \frac{1}{3}) = - \frac{4 \sqrt{2}}{9}$ .

Công thức hạ bậc:
$\cos^{2} α = \frac{1 + \cos 2 α}{2}$
$\sin^{2} α = \frac{1 - \cos 2 α}{2}$

Luyện tập 2

Dạng bài: Tính giá trị lượng giác bằng công thức hạ bậc

Không dùng máy tính, tính $\cos \frac{π}{8}$

3. Công thức biến đổi tích thành tổng

HĐ3

Dạng bài: Xây dựng công thức biến đổi tích thành tổng

Xây dựng công thức biến đổi tích thành tổng
a) Từ các công thức cộng $\cos (α + b)$ và $\cos (α - b)$ , hãy tìm: $\cos α \cos b$ ; $\sin α \sin b$ .
b) Từ các công thức cộng $\sin (α + b)$ và $\sin (α - b)$ , hãy tìm: $\sin α \cos b$ .

$\cos α \cos b = \frac{1}{2} [\cos (α - b) + \cos (α + b)]$
$\sin α \sin b = \frac{1}{2} [\cos (α - b) - \cos (α + b)]$
$\sin α \cos b = \frac{1}{2} [\sin (α - b) + \sin (α + b)]$

Ví dụ 4

Dạng bài: Tính giá trị biểu thức lượng giác

Tính giá trị của các biểu thức:
$A = \cos \frac{5 π}{12} \cos \frac{7 π}{12}$ ; $B = \cos 75^{\circ} \sin 15^{\circ}$ .

Lời giải

Giải
Ta có:
$A = \cos \frac{5 π}{12} \cos \frac{7 π}{12} = \frac{1}{2} (\cos (\frac{5 π}{12} - \frac{7 π}{12}) + \cos (\frac{5 π}{12} + \frac{7 π}{12})) = \frac{1}{2} (\cos (- \frac{2 π}{12}) + \cos π) = \frac{1}{2} (\cos \frac{π}{6} + \cos π) = \frac{1}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2} - 1) = \frac{\sqrt{3} - 2}{4}$ .
$B = \frac{1}{2} [\sin (15^{\circ} - 75^{\circ}) + \sin (15^{\circ} + 75^{\circ})] = \frac{1}{2} [\sin (- 60^{\circ}) + \sin 90^{\circ}] = \frac{1}{2} (- \frac{\sqrt{3}}{2} + 1) = \frac{2 - \sqrt{3}}{4}$ .

Luyện tập 3

Dạng bài: Tính giá trị biểu thức lượng giác

Không dùng máy tính, tính giá trị của các biểu thức:
$A = \cos 75^{\circ} \cos 15^{\circ}$ ; $B = \sin \frac{5 π}{12} \cos \frac{7 π}{12}$ .

4. Công thức biến đổi tổng thành tích

HĐ4

Dạng bài: Xây dựng công thức biến đổi tổng thành tích

Xây dựng công thức biến đổi tổng thành tích
Trong các công thức biến đổi tích thành tổng ở Mục 3, đặt $u = α - b$ , $v = α + b$ và viết các công thức nhận được.

$\cos u + \cos v = 2 \cos \frac{u + v}{2} \cos \frac{u - v}{2}$
$\cos u - \cos v = - 2 \sin \frac{u + v}{2} \sin \frac{u - v}{2}$
$\sin u + \sin v = 2 \sin \frac{u + v}{2} \cos \frac{u - v}{2}$
$\sin u - \sin v = 2 \cos \frac{u + v}{2} \sin \frac{u - v}{2}$

Ví dụ 5

Dạng bài: Tính giá trị biểu thức lượng giác

Không dùng máy tính, tính giá trị của biểu thức $A = \sin \frac{π}{9} - \sin \frac{5 π}{9} + \sin \frac{7 π}{9}$

Lời giải

Giải
$A = (\sin \frac{π}{9} + \sin \frac{7 π}{9}) - \sin \frac{5 π}{9} = 2 \sin \frac{\frac{π}{9} + \frac{7 π}{9}}{2} \cos \frac{\frac{π}{9} - \frac{7 π}{9}}{2} - \sin \frac{5 π}{9} = 2 \sin \frac{4 π}{9} \cos (- \frac{3 π}{9}) - \sin \frac{5 π}{9} = 2 \sin \frac{4 π}{9} \cos \frac{π}{3} - \sin \frac{5 π}{9} = 2 \sin \frac{4 π}{9} \cdot \frac{1}{2} - \sin \frac{5 π}{9} = \sin \frac{4 π}{9} - \sin \frac{5 π}{9}$ .
Vì $\frac{4 π}{9} + \frac{5 π}{9} = π$ nên $\sin \frac{4 π}{9} = \sin (π - \frac{5 π}{9}) = \sin \frac{5 π}{9}$ .
Vậy $A = \sin \frac{5 π}{9} - \sin \frac{5 π}{9} = 0$ .

Luyện tập 4

Dạng bài: Tính giá trị biểu thức lượng giác

Không dùng máy tính, tính giá trị của biểu thức
$B = \cos \frac{π}{9} + \cos \frac{5 π}{9} + \cos \frac{11 π}{9}$ .

Vận dụng 2

Dạng bài: Mô hình hóa và biến đổi hàm số lượng giác

Khi nhấn một phím trên điện thoại cảm ứng, bàn phím sẽ tạo ra hai âm thuần, kết hợp với nhau để tạo ra âm thanh nhận dạng duy nhất phím. Hình 1.13 cho thấy tần số thấp $f_{1}$ và tần số cao $f_{2}$ liên quan đến mỗi phím. Nhấn một phím sẽ tạo ra sóng âm $y = \sin (2 π f_{1} t) + \sin (2 π f_{2} t)$ , ở đó t là biến thời gian (tính bằng giây).
a) Tìm hàm số mô hình hoá âm thanh được tạo ra khi nhấn phím 4.
b) Biến đổi công thức vừa tìm được ở câu a về dạng tích của một hàm số sin và một hàm số côsin.

Hình/bảng: Bảng tần số cao và tần số thấp cho các phím điện thoại. Tần số cao: 1209, 1336, 1477 Hz. Tần số thấp: 697, 770, 852, 941 Hz. Phím 1: 697 Hz, 1209 Hz. Phím 2: 697 Hz, 1336 Hz. Phím 3: 697 Hz, 1477 Hz. Phím 4: 770 Hz, 1209 Hz. Phím 5: 770 Hz, 1336 Hz. Phím 6: 770 Hz, 1477 Hz. Phím 7: 852 Hz, 1209 Hz. Phím 8: 852 Hz, 1336 Hz. Phím 9: 852 Hz, 1477 Hz. Phím *: 941 Hz, 1209 Hz. Phím 0: 941 Hz, 1336 Hz. Phím #: 941 Hz, 1477 Hz.

Bài tập

1.7

Dạng bài: Tính giá trị lượng giác

Sử dụng $15^{\circ} = 45^{\circ} - 30^{\circ}$ , hãy tính các giá trị lượng giác của góc $15^{\circ}$ .

1.8

Dạng bài: Tính giá trị biểu thức lượng giác

Tính:
a) $\cos (α + \frac{π}{6})$ , biết $\sin α = \frac{1}{\sqrt{3}}$ và $\frac{π}{2} < α < π$ ;
b) $\tan (α - \frac{π}{4})$ , biết $\cos α = - \frac{1}{3}$ và $π < α < \frac{3 π}{2}$ .

1.9

Dạng bài: Tính giá trị lượng giác của góc nhân đôi

Tính $\sin 2 α$ , $\cos 2 α$ , $\tan 2 α$ , biết:
a) $\sin α = - \frac{1}{3}$ và $\frac{3 π}{2} < α < 2 π$ ;
b) $\sin α + \cos α = \frac{1}{2}$ và $\frac{π}{2} < α < \frac{3 π}{4}$ .

1.10

Dạng bài: Tính giá trị biểu thức lượng giác

Tính giá trị của các biểu thức sau:
a) $A = \sin \frac{π}{15} \cos \frac{π}{10} + \sin \frac{π}{10} \cos \frac{π}{15}$ ;
b) $B = \sin \frac{2 π}{15} \cos \frac{π}{5} - \cos \frac{2 π}{15} \sin \frac{π}{5}$ .

1.11

Dạng bài: Chứng minh đẳng thức lượng giác

Chứng minh đẳng thức sau:
$\sin (α + b) \sin (α - b) = \sin^{2} α - \sin^{2} b = \cos^{2} b - \cos^{2} α$ .

1.12

Dạng bài: Tính diện tích tam giác

Cho tam giác ABC có $\hat{B} = 75^{\circ}$ ; $\hat{C} = 45^{\circ}$ và $a = B C = 12$ cm.
a) Sử dụng công thức $S = \frac{1}{2} a b \sin C$ và định lí sin, hãy chứng minh diện tích của tam giác ABC cho bởi công thức $S = \frac{a^{2} \sin B \sin C}{2 \sin A}$ .
b) Sử dụng kết quả ở câu a và công thức biến đổi tích thành tổng, hãy tính diện tích S của tam giác ABC.

1.13

Dạng bài: Tổng hợp dao động điều hòa

Trong Vật lí, phương trình tổng quát của một vật dao động điều hoà cho bởi công thức $x (t) = A \cos (ω t + φ)$ , trong đó t là thời điểm (tính bằng giây), $x (t)$ là li độ của vật tại thời điểm t, A là biên độ dao động ( $A > 0$ ) và $φ \in [- π; π]$ là pha ban đầu của dao động.
Xét hai dao động điều hoà có phương trình:
$x_{1} (t) = 2 \cos (t + \frac{π}{6})$ (cm),
$x_{2} (t) = 2 \cos (t - \frac{π}{3})$ (cm).
Tìm dao động tổng hợp $x (t) = x_{1} (t) + x_{2} (t)$ và sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích để tìm biên độ và pha ban đầu của dao động tổng hợp này.

Xem bản PDF nguyên trang sách: Toán 11 tập 1 – Kết nối tri thức với cuộc sống (trang 17–21).