Bài 14. Phép chiếu song song – Toán 11 tập 1 Kết nối tri thức

Yêu cầu cần đạt

Nhận biết khái niệm và tính chất cơ bản về phép chiếu song song.
Xác định ảnh của một điểm, một đoạn thẳng, một tam giác, một đường tròn qua phép chiếu song song.
Vẽ hình biểu diễn của một số hình khối đơn giản.
Mô tả một số hình ảnh trong thực tiễn có liên quan đến phép chiếu song song.

Thuật ngữ: Phép chiếu song song · Hình chiếu · Phương chiếu · Hình biểu diễn

Trong bóng đá, công nghệ Goal-line được sử dụng để xác định xem bóng đã hoàn toàn vượt qua vạch vôi hay chưa, từ đó giúp trọng tài đưa ra quyết định về một bàn thắng có được ghi hay không. Yếu tố hình học nào cho ta biết quả bóng đã vượt qua vạch vôi hay chưa?

Một bàn thắng được ghi.

HĐ1

Một khung cửa sổ có dạng hình tròn với các chấn song tạo thành hình vuông ABCD, hai đường chéo của hình vuông cắt nhau tại O. Dưới ánh mặt trời, khung cửa và các chấn song đồ bóng lên sàn nhà (H.4.56a). Quan sát hình vẽ và trả lời các câu hỏi sau:
a) Các đường thẳng nối mỗi điểm A, B, C với bóng A', B', C' có đôi một song song hay không?
b) Làm thế nào để xác định được bóng đồ trên sàn nhà của mỗi điểm trên khung cửa sổ?

Hình/bảng: Hình 4.56a: Khung cửa sổ hình vuông ABCD và bóng của nó A'B'C'D' trên sàn nhà; Hình 4.56b: Đường thẳng M và hình chiếu M' trên mặt phẳng \alpha

Cho mặt phẳng ( $α$ ) và đường thẳng $Δ$ cắt ( $α$ ). Với mỗi điểm M trong không gian ta xác định điểm M' như sau:

Nếu M thuộc $Δ$ thì M' là giao điểm của ( $α$ ) và $Δ$ .
Nếu M không thuộc $Δ$ thì M' là giao điểm của ( $α$ ) và đường thẳng qua M song song với $Δ$ .

Điểm M' được gọi là hình chiếu song song của điểm M trên mặt phẳng ( $α$ ) theo phương $Δ$ .
Phép đặt tương ứng mỗi điểm M với hình chiếu M' của nó được gọi là phép chiếu song song lên ( $α$ ) theo phương $Δ$ .

Mặt phẳng ( $α$ ) được gọi là mặt phẳng chiếu, phương $Δ$ được gọi là phương chiếu.

Trong HĐ1, làm thế nào để xác định được bóng của toàn bộ song cửa CD trên sàn nhà?

Cho hình $H$ . Tập hợp $H^{'}$ các hình chiếu M' của các điểm M thuộc $H$ qua phép chiếu song song được gọi là hình chiếu của $H$ qua phép chiếu song song đó.

Chú ý

Nếu một đường thẳng song song với phương chiếu thì hình chiếu của đường thẳng đó là một điểm. Kể từ đây, nếu không nói gì thêm ta chỉ xét các phép chiếu mà phương chiếu không song song với mặt phẳng chiếu.

Ví dụ 1

Cho hình lăng trụ tam giác $A B C . A^{'} B^{'} C^{'} .$
a) Xác định hình chiếu của điểm A trên mặt phẳng $(A^{'} B^{'} C^{'})$ theo phương CC'.
b) Gọi M là một điểm thuộc đoạn thẳng AB. Xác định hình chiếu của M trên mặt phẳng $(A^{'} B^{'} C^{'})$ theo phương CC'.

Hình/bảng: Hình 4.57: Hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'

Lời giải

a) Vì $A B C . A^{'} B^{'} C^{'}$ là hình lăng trụ nên $A A^{'} / / B B^{'} / / C C^{'}$ . Vì A' thuộc mặt phẳng $(A^{'} B^{'} C^{'})$ nên A' là hình chiếu của A trên mặt phẳng $(A^{'} B^{'} C^{'})$ theo phương CC'.
b) Trong mặt phẳng (ABB'A') vẽ $M M^{'} / / A A^{'}$ với M' thuộc A'B' thì MM' // CC'. Vì M' thuộc mặt phẳng $(A^{'} B^{'} C^{'})$ nên M' là hình chiếu của M trên mặt phẳng $(A^{'} B^{'} C^{'})$ theo phương CC'.

Luyện tập 1

Cho hình hộp ABCD.EFGH (H.4.58). Xác định hình chiếu của điểm A trên mặt phẳng (CDHG) theo phương BC và theo phương BG.

Hình/bảng: Hình 4.58: Hình hộp ABCD.EFGH

Vận dụng 1

Trong hình ảnh mở đầu, khi một bàn thắng được ghi thì hình chiếu của quả bóng trên mặt đất theo phương thẳng đứng có vị trí như thế nào với vạch vôi?

2. Tính chất của phép chiếu song song

HĐ2

Quan sát Hình 4.56a và trả lời các câu hỏi sau:
a) Hình chiếu O' của điểm O có nằm trên đoạn A'C' hay không?
b) Hình chiếu của hai song cửa AB và CD như thế nào với nhau?
c) Hình chiếu O' của điểm O có phải là trung điểm của đoạn A'C' hay không?

Hình/bảng: Hình 4.56a: Khung cửa sổ hình vuông ABCD và bóng của nó A'B'C'D' trên sàn nhà

Ta có các tính chất sau của phép chiếu song song:

Phép chiếu song song biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự ba điểm đó. Phép chiếu song song biến đường thẳng thành đường thẳng, tia thành tia, đoạn thẳng thành đoạn thẳng.
Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau.
Phép chiếu song song giữ nguyên tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng cùng nằm trên một đường thẳng hoặc nằm trên hai đường thẳng song song.

Hình chiếu của hai đường thẳng cắt nhau có phải là hai đường thẳng cắt nhau hay không?

Ví dụ 2

Cho hình bình hành ABCD và gọi A'B'C'D' là hình chiếu của ABCD trên mặt phẳng (P) theo phương d (H.4.60). Chứng minh rằng tứ giác A'B'C'D' là hình bình hành.

Hình/bảng: Hình 4.60: Hình bình hành ABCD và hình chiếu A'B'C'D'

Lời giải

Vì ABCD là hình bình hành nên AB song song với CD, do đó hình chiếu của AB là A'B' song song với hình chiếu của CD là C'D'. Tương tự A'D' song song với B'C'.
Tứ giác A'B'C'D' có $A^{'} B^{'} / / C^{'} D^{'}$ và A'D' // B'C' nên nó là hình bình hành.

Cho mặt phẳng (a) và đường thẳng △ cắt (a). Với mỗi điểm M trong không gian ta xác định điểm M' như sau:

Nếu M thuộc △ thì M' là giao điểm của (a) và △.
Nếu M không thuộc △ thì M' là giao điểm của (a) và đường thẳng qua M song song với △.

Điểm M' được gọi là hình chiếu song song của điểm M trên mặt phẳng (a) theo phương △.
Phép đặt tương ứng mỗi điểm M với hình chiếu M' của nó được gọi là phép chiếu song song lên (a) theo phương △.

Mặt phẳng (a) được gọi là mặt phẳng chiếu, phương △ được gọi là phương chiếu.

HĐ1

Trong HĐ1, làm thế nào để xác định được bóng của toàn bộ song cửa CD trên sàn nhà?

Cho hình 70. Tập hợp H' các hình chiếu M' của các điểm M thuộc 7h qua phép chiếu song song được gọi là hình chiếu của 70 qua phép chiếu song song đó.

Hình chiếu của hình chữ 'A' và bóng đổ của người bán hàng rong dưới ánh mặt trời trên đường phố Hội An.

Hình 4.57. Hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' với các đỉnh A, B, C, A', B', C' và điểm M trên AB, M' trên A'B'.

Hình 4.58. Hình hộp ABCD.EFGH với các đỉnh A, B, C, D, E, F, G, H.

Vận dụng 1

Ta có các tính chất sau của phép chiếu song song:

Phép chiếu song song biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự ba điểm đó. Phép chiếu song song biến đường thẳng thành đường thẳng, tia thành tia, đoạn thẳng thành đoạn thẳng.
Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau.
Phép chiếu song song giữ nguyên tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng cùng nằm trên một đường thẳng hoặc nằm trên hai đường thẳng song song.

Hình 4.59. Hai hình (a) và (b) minh họa phép chiếu song song của các đoạn thẳng AB và CD thành A'B' và C'D'.

Hình 4.60. Hình bình hành ABCD và hình chiếu A'B'C'D' trên mặt phẳng (P) theo phương d.

Luyện tập 2

Chứng minh rằng hình chiếu song song của một hình thang là một hình thang (H.4.61).

Hình/bảng: Hình thang ABCD và hình chiếu A'B'C'D'.

Hình 4.61. Hình thang ABCD và hình chiếu A'B'C'D'.

Ví dụ 3

Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC. Một phép chiếu song song biến tam giác ABC thành tam giác A'B'C', biến M thành M'. Chứng minh rằng A'M' là đường trung tuyến của tam giác A'B'C' (H.4.62).

Hình/bảng: Tam giác ABC và hình chiếu A'B'C' với M là trung điểm BC và M' là trung điểm B'C'.

Lời giải

Giải
Vì M là trung điểm của BC nên B, M, C thẳng hàng theo thứ tự đó và $\frac{B M}{M C} = 1$ . Do vậy B', M', C'thẳng hàng theo thứ tự đó và $\frac{B^{'} M^{'}}{M^{'} C^{'}} = 1$ , tức là M' là trung điểm của B'C'. Vậy A'M' là đường trung tuyến của tam giác A'B'C'.

Hình 4.62. Tam giác ABC và hình chiếu A'B'C' với M là trung điểm BC và M' là trung điểm B'C'.

Luyện tập 3

Một phép chiếu song song biến tam giác ABC thành tam giác A'B'C'. Chứng minh rằng phép chiếu đó biến đường trung bình của tam giác ABC thành đường trung bình của tam giác A'B'C'.

3. Hình biểu diễn của một hình không gian

HĐ3

Trong ba hình dưới đây, hình nào thể hiện hình lập phương chính xác hơn?

Hình/bảng: Ba hình (a), (b), (c) biểu diễn hình lập phương.

Hình 4.63. Ba hình (a), (b), (c) biểu diễn hình lập phương.

Từ đầu chương, ta thường minh hoạ các hình tứ diện, hình lập phương, hình lăng trụ.... bằng các hình vẽ trên giấy. Các hình vẽ này đều tuân theo một nguyên tắc nhất định và chúng được gọi là hình biểu diễn của hình không gian trên mặt phẳng.

Hình biểu diễn của một hình trong không gian là hình chiếu song song của hình đó trên một mặt phẳng theo một phương chiếu nào đó hoặc hình đồng dạng với hình chiếu đó.

Quan sát hình ảnh khung cửa sổ trong Hình 4.56a và cho biết hình biểu diễn của hình tam giác, hình vuông, hình tròn là hình gì?

Khi hình phẳng nằm trong mặt phẳng không song song với phương chiếu thì hình biểu diễn của hình phẳng đó có các tính chất sau:

Hình biểu diễn của một tam giác (cân, đều, vuông) là một tam giác;
Hình biểu diễn của hình vuông, hình chữ nhật, hình thoi, hình bình hành là hình bình hành;
Hình biểu diễn của hình thang ABCD với AB // CD là một hình thang A'B'C'D' với A'B' // C'D' thoả mãn $\frac{A B}{C D} = \frac{A^{'} B^{'}}{C^{'} D^{'}}$ ;
Hình biểu diễn của hình tròn là hình elip.

Hình chiếu bằng, hình chiếu đứng, hình chiếu cạnh của một vật thể (môn Công nghệ 8 và Công nghệ 10) chính là hình biểu diễn của vật thể đó.

Minh họa hình chiếu đứng, hình chiếu cạnh, hình chiếu bằng của một vật thể.

Ví dụ 4

Vẽ hình biểu diễn của hình lăng trụ ABCD.A'B'C'D' có mặt đáy ABCD là hình thang, AB song song với CD và AB = 2CD.

Hình/bảng: Hình lăng trụ ABCD.A'B'C'D' với đáy ABCD là hình thang.

Lời giải

Giải
Hình lăng trụ ABCD.A'B'C'D' có các mặt bên là hình bình hành nên hình biểu diễn của nó cũng có các mặt bên là hình bình hành. Hình thang ABCD có hai đáy AB, CD và AB = 2CD nên hình biểu diễn của ABCD là một hình thang có độ dài một đáy gấp hai lần độ dài của đáy còn lại. Từ đó, ta vẽ được hình biểu diễn của hình lăng trụ ABCD.A'B'C'D' như Hình 4.64.

Hình 4.64. Hình lăng trụ ABCD.A'B'C'D' với đáy ABCD là hình thang.

Luyện tập 4

Vẽ hình biểu diễn của hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành.

Vận dụng 2

Phép chiếu song song có thể được sử dụng để vẽ dạng nỗi (hay dạng 3D) của chữ cái như trong hình dưới đây. Theo phương pháp đó hãy vẽ dạng nổi của một số chữ cái quen thuộc như L, N, T, ...

Xem bản PDF nguyên trang sách: Toán 11 tập 1 – Kết nối tri thức với cuộc sống (trang 95–99).