Bài 7. Cấp số nhân

Năm số hạng đầu của cấp số nhân này là:
$u_1=5,u_2=u_1\cdot q=5\cdot (-2)=-10,u_3=u_2\cdot q=(-10)\cdot (-2)=20,u_4=u_3\cdot q=20\cdot (-2)=-40,u_5=u_4\cdot q=(-40)\cdot (-2)=80$.

Với mọi $n\ge 2$, ta có
$\frac{u_n}{u_{n-1}}=\frac{1\mathrm{/}{3}^{n-1}}{1\mathrm{/}{3}^{n-2}}=\frac{3^{n-2}}{3^{n-1}}=\frac{1}{3}$
tức là $u_n=\frac{1}{3}{u}_{n-1}$ với mọi $n\ge 2$.
Vậy $(u_n)$ là một cấp số nhân với số hạng đầu $u_1=\frac{1}{3^{1-1}}=1$ và công bội $q=\frac{1}{3}$.

Cấp số nhân này có số hạng đầu $u_1=8$ và công bội $q=\frac{-4}{8}=-\frac{1}{2}$.
Do đó năm số hạng đầu là: $8,-4,2,-1,\frac{1}{2}$.
Số hạng thứ 100 là $u_{100}=u_1\cdot q^{99}=8\cdot {(-\frac{1}{2})}^{99}=-\frac{1}{2^{96}}$.

Giả sử $u_1$ là số hạng đầu và $q$ là công bội của cấp số nhân đã cho. Ta có:
$\{\begin{array}{l}{u}_{10}=u_1\cdot q^9=1536\\ u_{12}=u_1\cdot q^{11}=6144\end{array}$
Từ đây suy ra $q^2=4$, tức là $q=2$ hoặc $q=-2$.
Với $q=2$, ta tính được $u_1=3$.
Với $q=\text{–}2$ ta tính được $u_1=-3$ (trường hợp này loại vì $u_1>0$ theo giả thiết).
Do đó $u_1=3$ và $q=2$.
Vậy số hạng thứ 20 của cấp số nhân đã cho là $u_{20}=u_1\cdot q^{19}=3\cdot 2^{19}=1572864$.

Lương hằng năm (triệu đồng) của chuyên gia lập thành một cấp số nhân, với số hạng đầu $u_1=240$ và công bội $q=1,05$. Tổng số lương của chuyên gia đó sau 10 năm chính là tổng của 10 số hạng đầu của cấp số nhân này và bằng
$S_{10}=\frac{u_1(1-q^{10})}{1-q}=\frac{240[1-(1,05{)}^{10}]}{1-1,05}\approx 3019$.
Vậy tổng số lương (làm tròn đến triệu đồng) của chuyên gia đó sau 10 năm là 3 019 triệu đồng hay 3,019 tỉ đồng.

Cấp số nhân này có số hạng đầu $u_1=2$ và công bội $q=3$. Gọi $n$ là số các số hạng đầu cần lấy. Ta có
$728=S_n=u_1+u_2+\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}+u_n=\frac{u_1(1-q^n)}{1-q}=\frac{2(1-3^n)}{1-3}=3^n-1$.
Từ đây ta được $3^n=729=3^6$. Suy ra $n=6$.
Vậy phải lấy 6 số hạng đầu của cấp số nhân đã cho để được tổng bằng 728.