Bài 9. Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm

• Tính các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu ghép nhóm.
• Hiểu ý nghĩa, vai trò của các số đặc trưng của mẫu số liệu thực tế.

Một cửa hàng đã ghi lại số tiền bán xăng cho 35 khách hàng đi xe máy. Mẫu số liệu gốc có dạng: $x_1,x_2,\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.},x_{35}$ trong đó $x_i$ là số tiền bán xăng cho khách hàng thứ $i$. Vì một lí do nào đó, cửa hàng chỉ có mẫu số liệu ghép nhóm dạng sau:

\begin{array}{|l|l|l|l|l|}
\hline
Số tiền (nghìn đồng) & [0; 30) & [30; 60) & [60; 90) & [90; 120) \\
\hline
Số khách hàng & 3 & 15 & 10 & 7 \\
\hline
\end{array}

Dựa trên mẫu số liệu ghép nhóm này, làm thế nào để ước lượng các số đặc trưng đo xu thế trung tâm (số trung bình, trung vị, tứ phân vị, mốt) cho mẫu số liệu gốc?
Chúng ta cùng tìm hiểu vấn đề này!

\begin{array}{|l|l|l|l|}
\hline
Nhóm & [a_1; a_2) & [a_j; a_{j+1}) & [a_k; a_{k+1}) \\
\hline
Tần số & m_1 & m_j & m_k \\
\hline
\end{array}

\begin{array}{|l|l|l|l|l|l|}
\hline
Điểm thi & 1-4 & 5-7 & 8-10 & Điểm thi & [0,5; 4,5) & [4,5; 7,5) & [7,5; 10] \\
\hline
Số học sinh & 5 & 20 & 10 & Số học sinh & 5 & 20 & 10 \\
\hline
\end{array}

\begin{array}{|l|l|l|l|l|l|}
\hline
Điểm thi & [0,5; 4,5) & [4,5; 7,5) & [7,5; 10] \\
\hline
Số học sinh & 5 & 20 & 10 \\
\hline
\end{array}

\begin{array}{|l|l|l|l|l|l|l|}
\hline
Cân nặng & [40,5; 45,5) & [45,5; 50,5) & [50,5; 55,5) & [55,5; 60,5) & [60,5; 65,5) & [65,5; 70,5] \\
\hline
Số học sinh & 10 & 7 & 16 & 4 & 2 & 3 \\
\hline
\end{array}

\begin{array}{|l|l|l|l|l|l|l|}
\hline
Cân nặng (kg) & 43 & 48 & 53 & 58 & 63 & 66 \\
\hline
Số học sinh & 10 & 7 & 16 & 4 & 2 & 3 \\
\hline
\end{array}
Tổng số học sinh là $n=42$. Cân nặng trung bình của học sinh lớp 11D là
$\bar{X}=\frac{10\cdot 43+7\cdot 48+16\cdot 53+4\cdot 58+2\cdot 63+3\cdot 68}{42}\approx 51,81(kg)$.

\begin{array}{|l|l|l|l|l|l|}
\hline
Thời gian (giờ) & [0; 5) & [5; 10) & [10; 15) & [15; 20) & [20; 25] \\
\hline
Số học sinh & 8 & 16 & 4 & 2 & 2 \\
\hline
\end{array}
Tính thời gian xem ti vi trung bình trong tuần trước của các bạn học sinh này.

Cho mẫu số liệu ghép nhóm như trong Bảng 3.2.

\begin{array}{|l|l|l|l|l|l|}
\hline
Thời gian (phút) & [9,5;12,5) & [12,5; 15,5) & [15,5; 18,5) & [18,5; 21,5) & [21,5; 24,5) \\
\hline
Số học sinh & 3 & 12 & 15 & 24 & 2 \\
\hline
\end{array}
Tính trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm này.

\begin{array}{|l|l|}
\hline
Tốc độ $v$ (km/h) & Số lần \\
\hline
$150\le v<155$ & 18 \\
$155\le v<160$ & 28 \\
$160\le v<165$ & 35 \\
$165\le v<170$ & 43 \\
$170\le v<175$ & 41 \\
$175\le v<180$ & 35 \\
\hline
\end{array}

Để tính trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm, ta làm như sau:

Bước 1. Xác định nhóm chứa trung vị. Giả sử đó là nhóm thứ $p:[a_p;a_{p+1})$.

trong đó n là cỡ mẫu, $m_p$ là tần số nhóm p. Với $p=1$, ta quy ước $m_1+\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}+m_{p-1}=0$.

Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ cho trung vị của mẫu số liệu gốc, nó chia mẫu số liệu thành hai phần, mỗi phần chứa 50% giá trị.

Để tính tứ phân vị thứ nhất $Q_1$ của mẫu số liệu ghép nhóm, trước hết ta xác định nhóm chứa $Q_1$ giả sử đó là nhóm thứ p: $[a_p;a_{p+1})$ Khi đó,

Để tính tứ phân vị thứ ba $Q_3$ của mẫu số liệu ghép nhóm, trước hết ta xác định nhóm chứa $Q_3$ Giả sử đó là nhóm thứ $p:[a_p;a_{p+1})$. Khi đó,

Tứ phân vị thứ hai $Q_2$ chính là trung vị $M_e$

Các tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ cho các tứ phân vị của mẫu số liệu gốc, chúng chia mẫu số liệu thành 4 phần, mỗi phần chứa 25% giá trị.

Để tìm mốt của mẫu số liệu ghép nhóm, ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1. Xác định nhóm có tần số lớn nhất (gọi là nhóm chứa mốt), giả sử là nhóm j $:[a_j,a_{j+1})$.

trong đó $m_j$ là tần số của nhóm j (quy ước $m_0=m_{k+1}=0)$ và h là độ dài của nhóm.

Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ cho mốt của mẫu số liệu gốc, nó được dùng để đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu.